M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

yt rovnic´ı se separovan´

ymi promˇ

enn´

ymi, provˇ

eˇrujeme, zdali nem´

a tvar (3.1) nebo

nen´ı-li s tvarem (3.1) ekvivalentn´ı. M´ısto term´ınu separovan´

a rovnice se uˇ

z´ıv´

a tak´

e

n´

azev rovnice s rozdˇ

elen´

ymi promˇ

enn´

ymi.

Rozepiˇsme derivaci v lev´

e stranˇ

e rovnice (3.1) na pod´ıl diferenci´

al˚

u dy a dx. Potom

dost´

av´

ame

dy

dx

= g(x)h(y).

Za pˇredpokladu h(y) 6= 0 odsud dost´

av´

ame

dy

h(y)

= g(x)dx.

(3.2)

V ˇradˇ

e uˇ

cebnic se pr´

avˇ

e tato rovnice naz´

yv´

a rovnic´ı se separovan´

ymi promˇ

enn´

ymi.

Pro naˇsi v´

ychoz´ı rovnici (3.1) je pak uˇ

z´ıv´

an n´

azev rovnice se separovateln´

ymi (rozdˇ

e-

liteln´

ymi) promˇ

enn´

ymi. V posledn´ı rovnici jsou promˇ

enn´

e y a x rozdˇ

eleny ´

uplnˇ

e.

Vid´ıme, ˇ

ze v´

ychoz´ı tvar v jak´

em je rovnice zad´

ana je velmi flexibiln´ı.

Jak ˇ

reˇ

s´ıme rovnici se separovan´

ymi promˇ

enn´

ymi?

Pˇri ˇreˇsen´ı rovnice (3.1) vyjdeme ze tvaru (3.2). Integrac´ı dost´

av´

ame

Z

dy

h(y)

=

Z

g(x)dx.

Oznaˇ

cme primitivn´ı funkce k funkc´ım 1/h(y) a g(x) jako H(y) a G(x). Pak pro

ˇreˇsen´ı rovnice (3.1) m´

ame

H(y) = G(t) + C,

(3.3)

kde konstanta C je libovoln´

a. Vztahem 3.3 je urˇ

cena mnoˇ

zina ˇreˇsen´ı rovnice (3.1).

Pokud tento vztah urˇ

cuje vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı, d´

av´

a vztah (3.3) obecn´

e ˇreˇsen´ı. M˚

uˇ

ze

se ovˇsem st´

at, ˇ

ze rovnice

h(y) = 0

(3.4)

3.1. SEPAROVAN ´

A ROVNICE

33

m´

a singul´

arn´ıˇreˇsen´ı y = y0, kter´e (jak lze snadno ovˇeˇrit) je tak´e ˇreˇsen´ım rovnice (3.1)

a nen´ı pˇritom obsaˇ

zeno ve vztahu (3.3). Mnoˇ

zina vˇsech ˇreˇsen´ı je pak tvoˇrena vz-

tahem (3.3) a vˇsemi singul´

arn´ımi ˇreˇsen´

ami, tj. vˇsemi koˇreny rovnice (3.4), kter´

e v

nˇ

em nejsou zahrnuty. ˇ

Casto se povede ´

upravou vztahu (3.3) a pˇr´ıpadnˇ

e vhodn´

ym

pˇreznaˇ

cen´ım libovoln´