M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

e konstanty zapsat tento vztah v takov´

em tvaru, ˇ

ze vˇsechna

ˇreˇsen´ı obsahuje, tj., obecn´

e ˇreˇsen´ı pak tvoˇr´ı mnoˇ

zinu vˇsech ˇreˇsen´ı.

Je uveden´

y postup ˇ

reˇ

sen´ı korektn´ı?

Je moˇ

zn´

e zapochybovat o tom, ˇ

ze pˇredchoz´ı postup je matematicky spr´

avn´

y. Proˇ

c

jsme, napˇr´ıklad, integrovali levou stranu vztahu (3.2) podle promˇ

enn´

e y a pravou

stranu podle promˇ

enn´

e x? Plat´ı tak´

e vlastnost, ˇ

ze kaˇ

zd´

ym bodem (x0, y0), pokud

h(y) 6= 0 pro libovoln´

e y, proch´

az´ı pr´

avˇ

e jedno ˇreˇsen´ı? N´

asleduj´ıc´ı ´

uvaha tyto

pochybnosti rozpt´

yl´ı. Budeme totiˇ

z pˇredpokl´

adat, ˇ

ze zn´

ame ˇreˇsen´ı y = ω(x) rovnice

(3.1), definovan´

e na nˇ

ekter´

em okol´ı bodu x0 takov´e, ˇze ω(x0) = y0, zrekapitulujeme

postup ˇreˇsen´ı a ovˇ

eˇr´ıme spr´

avnost v´

ysledku. Podle naˇseho pˇredpokladu plat´ı identita

dω(x)

dx

≡ g(x)h(ω(x)),

kterou lze pˇrepsat d´ıky podm´ınce h(y) 6= 0 ve tvaru

dω(x)

h(ω(x))

≡ g(x)dx .

Integrujme tuto identitu v mez´ıch x0 a x. Dost´

av´

ame

Z

x

x0

dω(x)

h(ω(z))

≡

Z

x

x0

g(q)dq .

a po substituci s = ω(z)

Z

ω(x)

ω(x0)

ds

h(s)

≡

Z

x

x0

g(q)dq .

Jsou-li H(y) a G(x) primitivn´ı funkce, pak lze posledn´ı vztah pˇrepsat jako

H(ω(x)) − H(y0) ≡ G(x) − G(x0).

(3.5)

Primitivn´ı funkce H(y) je ostˇre monotnn´ı, protoˇ

ze H0(y) = 1/h(y) 6= 0. Proto

existuje inverzn´ı funkce H−1 k funkci H a existuje z posledn´ı rovnice dost´

av´

ame:

ω(x) ≡ H

−1 [H(y

0) + G(x) − G(x0)] .

(3.6)

Posledn´ı vztah souˇ

casnˇ

e ukazuje na to, ˇ

ze pokud bodem (x0, y0) proch´

az´ı ˇreˇsen´ı

rovnice (3.1), pak mus´ı vyhovovat identitˇ

e (3.6). Odtud vypl´

yv´

a jednoznaˇ

cnost ˇreˇsen´ı

rovnice (3.1) proch´

azej´ıc´ıho dan´

ym bodem, nebot’ vzhledem k monotonii funkce H(y)

je identita (3.6) jednoznaˇ

cn´