M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

ALN´

I CHARAKTER EXISTEN ˇ

CN´

ICH V ˇ

ET

29

kter´

a rozˇsiˇrovala platnost dvou pˇredchoz´ıch vˇ

et na rovnici n-t´

eho ˇr´

adu (2.4). V t´

eto

vˇ

etˇ

e jsme jiˇ

z nerozliˇsovali oddˇ

elenˇ

e podm´ınky zaruˇ

cuj´ıc´ı existenci ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı

´

ulohy (2.5) a jednoznaˇ

cnost tohoto ˇreˇsen´ı. Spoleˇ

cn´

ym rysem vˇsech tˇ

echto vˇ

et byl

jejich lok´

aln´ı charakter (resp. jejich tzv. lok´

aln´ı existence). T´ım m´

ame na mysli to,

ˇ

ze n´

as uveden´

e vˇ

ety informovaly o existenci ˇreˇsen´ı y = y(x) a o jeho jednoznaˇ

cnosti

pouze na nˇ

ekter´

em okol´ı bodu x = x0. Toto okol´ı bylo vymezeno pomoc´ı nerovnost´ı

typu |x−x0| ≤ h, kde ˇc´ıslo h bylo definov´

ano vztahy (2.7) nebo (2.21) jako minim´

aln´ı

ze dvou dan´

ych ˇ

c´ısel. Rozborem tˇ

echto vztah˚

u vid´ıme, ˇ

ze ˇ

c´ım vˇ

etˇs´ı jsou v uve-

den´

ych oblastech D hodnoty funkce f , t´ım je menˇs´ı ˇ

c´ıslo h. Prakticky tedy vˇ

etˇsinou

nejsme schopni pouˇ

zit´ım tˇ

echto nerovnost´ı vymezit dostateˇ

cnˇ

e velk´

y interval ex-

istence, protoˇ

ze hodnota ˇ

c´ısla M v pˇr´ıpadˇ

e, ˇ

ze bychom zvˇ

etˇsovali oblast D bude

vˇ

etˇsinou nar˚

ustat a ˇ

c´ıslo h se bude zmenˇsovat. Pouˇ

z´ıt tyto vˇ

ety pro zjiˇstˇ

en´ı na jak´

em

(co nejvˇ

etˇs´ım) intervalu bude ˇreˇsen´ı y = y(x) existovat tedy obecnˇ

e nelze. Uvede-

nou diskus´ı jsme se dostali do problematiky takzvan´

e prodlouˇ

zitelnosti ˇreˇsen´ı difer-

enci´

aln´ıch rovnic. Nebudeme prov´

adˇ

et hlubok´

e teoretick´

e ´

uvahy. Uved’me jen jeden

z´

avˇ

er, kter´

y ˇr´ık´

a, ˇ

ze pokud jsou v kaˇ

zd´

em jakkoliv velk´

em okol´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ıho bodu

splnˇ

eny podm´ınky uveden´

ych vˇ

et, pak pro pˇr´ısluˇsn´

e ˇreˇsen´ı y = y(x) plat´ı tato alter-

nativa: Bud’ existuje hodnota x = x∗ > x0 takov´