M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

a.

34

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

Na z´

avˇ

er ukaˇ

zme, ˇ

ze identita (3.6) definuje (na nˇ

ekter´

em okol´ı bodu x = x0) funkci

ω(x), kter´

a je ˇreˇsen´ım rovnice (3.1), vyhovuj´ıc´ım podm´ınce ω(x0) = y0. Derivov´

an´ım

ekvivalentn´ıho vztahu (3.5) podle promˇ

enn´

e x dost´

av´

ame

H

0(ω(x))ω 0(x) ≡ G0(x),

tj.,

ω 0(x)

h(ω(x))

≡ g

0(x).

To znamen´

a, ˇ

ze funkce ω(x) je ˇreˇsen´ım rovnice (3.1).

Pˇ

r´ıklady

Pˇ

r´ıklad 11. Najdˇ

ete vˇsechna ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice

(1 + x) dy − 2y dx = 0.

(3.7)

ˇ

Reˇ

sen´ı. Pˇreved’me rovnici (3.7) na tvar s ´

uplnˇ

e rozdˇ

elen´

ymi promˇ

enn´

ymi. Dˇ

elen´ım

v´

yrazem (1 + x)y (za pˇredpokladu, ˇ

ze nen´ı nulov´

y) dost´

av´

ame

dy

y

=

2dx

1 + x

,

odkud

Z

dy

y

=

Z

2dx

1 + x

.

Po integraci dostaneme

ln |y| = 2 ln |1 + x| + C1,

kde C1 je libovoln´

a konstanta. Pˇri integrov´

an´ı nebylo nutn´

e pouˇ

z´ıt dvˇ

e libovoln´

e

konstanty (jako konstanty vznikl´

e integrac´ı dvou v´

yraz˚

u), nebot’ souˇ

cet ˇ

ci rozd´ıl

dvou libovoln´

ych konstant je opˇ

et libovolnou konstantou. Z posledn´ıho v´

yrazu (po

odlogaritmov´

an´ı)

|y| = e

ln(1+x)2+C1

nebo

y = ±(1 + x)

2eC1.

Dva v´

yrazy: ±eC1, kde C1 je libovoln´

a konstanta sjednot´ıme do jednoho jako libo-

volnou konstantu C, kter´

a nab´

yv´

a vˇsech hodnot kromˇ

e hodnoty C = 0 (zd˚

uvodnˇ

ete

proˇ

c). Potom

y = C(1 + x)

2.

(3.8)

Zjist´ıme nyn´ı zdali jsme pˇri dˇ

elen´ı v´

yrazem (1 + x)y nˇ

ekter´

a ˇreˇsen´ı neztratili. Nuly

tohoto v´

yrazu, tj. hodnoty x = 1 a y = 0 jsou ˇreˇsen´ımi rovnice (3.7). Ani jedno z nich

vˇsak vzorec (3.8) neobsahuje. Druhou hodnotu m˚

uˇ

zeme do vzorce (3.8) zahrnout,

3.1. SEPAROVAN ´

A ROVNICE

35

rozˇs´ıˇr´ıme-li mnoˇ

zinu hodnot libovoln´

e konstanty C i o hodnotu C = 0. Mnoˇ