M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
arn´ıˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (3.13) budeme
hledat ve tvaru, kter´
y je form´
alnˇ
e tomuto tvaru podobn´
y. Pˇredpokl´
adejme ale, ˇ
ze
m´ısto konstanty C je sem dosazena vhodn´
a funkce C(x) takov´
a, aby v´
yraz yp(x):
yp(x) := C(x) · exp
Z
a(x)dx
byl partikul´
arn´ım ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı rovnice (3.13). Dosazen´ı yp(x) do neho-
mogenn´ı rovnice (3.13) d´
av´
a
C
0(x)·exp
Z
a(x)dx
+C(x)a(x)·exp
Z
a(x)dx
= a(x)C(x)·exp
Z
a(x)dx
+b(x)
a po ´
upravˇ
e
C
0(x) = b(x) · exp
−
Z
a(x)dx
.
Odtud integrac´ı dost´
av´
ame
C(x) =
Z
b(x) · exp
−
Z
a(x)dx
dx + L,
kde L je libovoln´
a konstanta. Protoˇ
ze potˇrebujeme nal´
ezt jedno partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı,
lze poloˇ
zit, napˇr´ıklad L = 0 a nezapisovat jiˇ
z v neurˇ
cit´
em integr´
alu libovolnou
konstantu. Nebude ovˇsem chybou nechat libovolnou konstantu na m´ıstˇ
e. Pak ve
v´
ysledku obdrˇ
z´ıme ihned obecn´
e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. (Pˇresvˇ
edˇ
cte se o tom
samostatnˇ
e.) Volme L = 0. Partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı m´
a tvar
yp(x) := exp
Z
a(x)dx
Z
b(x) · exp
−
Z
a(x)dx
dx.
Obecn´
e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice sestav´ıme jako souˇ
cet obecn´
eho ˇreˇsen´ı pˇridruˇ
zen´
e
homogenn´ı rovnice a nalezen´
eho partikul´
arn´ıho ˇreˇsen´ı:
y = C · exp
Z
a(x)dx
+ exp
Z
a(x)dx
Z
b(x) · exp
−
Z
a(x)dx
dx.
(3.16)
3.2. LINE ´
ARN´
I ROVNICE
39
Zde je C libovolnou konstantou. Ve v´
yrazu (3.16) nelze prov´
est zjednoduˇsen´ı ve
druh´
em sˇ
c´ıtanci. Obecnˇ
e jsou neurˇ
cit´
e integr´
aly definov´
any jako mnoˇ
ziny funkc´ı.
Zjednoduˇsen´ı je moˇ
zn´
e prov´
adˇ
et pouze v pˇr´ıpadˇ
e urˇ
cit´
ych integr´
al˚
u. Je-li nutn´
e
naj´ıt ˇreˇsen´ı, proch´
azej´ıc´ı dopˇredu zadan´
ym bodem, m˚
uˇ
zeme vyuˇ
z´ıt tvar (3.16) a
urˇ
cit konstantu C.
Varov´
an´ı 1. Nepokouˇsejte se o zapamatov´
an´ı vzorce (3.16) i jin´
ych v´
ysledn´
ych
vzorc˚
u. Byla by to ztr´
ata ˇ