Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (826.47 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

arn´ıˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (3.13) budeme

hledat ve tvaru, kter´

y je form´

alnˇ

e tomuto tvaru podobn´

y. Pˇredpokl´

adejme ale, ˇ

ze

m´ısto konstanty C je sem dosazena vhodn´

a funkce C(x) takov´

a, aby v´

yraz yp(x):

yp(x) := C(x) · exp

Z

a(x)dx

byl partikul´

arn´ım ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı rovnice (3.13). Dosazen´ı yp(x) do neho-

mogenn´ı rovnice (3.13) d´

av´

a

C

0(x)·exp

Z

a(x)dx

+C(x)a(x)·exp

Z

a(x)dx

= a(x)C(x)·exp

Z

a(x)dx

+b(x)

a po ´

upravˇ

e

C

0(x) = b(x) · exp

Z

a(x)dx

.

Odtud integrac´ı dost´

av´

ame

C(x) =

Z

b(x) · exp

Z

a(x)dx

dx + L,

kde L je libovoln´

a konstanta. Protoˇ

ze potˇrebujeme nal´

ezt jedno partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı,

lze poloˇ

zit, napˇr´ıklad L = 0 a nezapisovat jiˇ

z v neurˇ

cit´

em integr´

alu libovolnou

konstantu. Nebude ovˇsem chybou nechat libovolnou konstantu na m´ıstˇ

e. Pak ve

ysledku obdrˇ

z´ıme ihned obecn´

e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. (Pˇresvˇ

edˇ

cte se o tom

samostatnˇ

e.) Volme L = 0. Partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı m´

a tvar

yp(x) := exp

Z

a(x)dx

 Z

b(x) · exp

Z

a(x)dx

dx.

Obecn´

e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice sestav´ıme jako souˇ

cet obecn´

eho ˇreˇsen´ı pˇridruˇ

zen´

e

homogenn´ı rovnice a nalezen´

eho partikul´

arn´ıho ˇreˇsen´ı:

y = C · exp

Z

a(x)dx

+ exp

Z

a(x)dx

 Z

b(x) · exp

Z

a(x)dx

dx.

(3.16)

3.2. LINE ´

ARN´

I ROVNICE

39

Zde je C libovolnou konstantou. Ve v´

yrazu (3.16) nelze prov´

est zjednoduˇsen´ı ve

druh´

em sˇ

c´ıtanci. Obecnˇ

e jsou neurˇ

cit´

e integr´

aly definov´

any jako mnoˇ

ziny funkc´ı.

Zjednoduˇsen´ı je moˇ

zn´

e prov´

adˇ

et pouze v pˇr´ıpadˇ

e urˇ

cit´

ych integr´

al˚

u. Je-li nutn´

e

naj´ıt ˇreˇsen´ı, proch´

azej´ıc´ı dopˇredu zadan´

ym bodem, m˚

zeme vyuˇ

z´ıt tvar (3.16) a

urˇ

cit konstantu C.

Varov´

an´ı 1. Nepokouˇsejte se o zapamatov´

an´ı vzorce (3.16) i jin´

ych v´

ysledn´

ych

vzorc˚

u. Byla by to ztr´

ata ˇ

Témata, do kterých materiál patří