M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

casu a nen´ı to potˇreba. Postupy ˇreˇsen´ı maj´ı pr˚

ukaznou

logiku odvozen´ı. Proto doporuˇ

cujeme postupovat tˇreba pomalejˇs´ım tempem, zato

vˇsak s pln´

ym ch´

ap´

an´ım toho co je v jednotliv´

ych kroc´ıch ˇreˇsen´ı dˇ

el´

ano.

Jak naj´ıt ˇ

reˇ

sen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy pro homogenn´ı a nehomogenn´ı

line´

arn´ı rovnici

Postup hled´

an´ı ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ıch ´

uloh pro line´

arn´ı rovnice m˚

uˇ

ze n´

asledovat jako

dalˇs´ı krok po nalezen´ı pˇr´ısluˇsn´

eho obecn´

eho ˇreˇsen´ı. Z poˇ

c´

ateˇ

cn´ı podm´ınky pak

m˚

uˇ

zeme urˇ

cit hodnotu libovoln´

e konstanty tak, aby odpov´ıdaj´ıc´ı ˇreˇsen´ı proch´

azelo

dan´

ych bodem. Toto ˇreˇsen´ı ale m˚

uˇ

zeme napsat teoreticky pomoc´ı vzorc˚

u. Postup

jejich odvozen´ı je podobn´

y pˇredchoz´ımu postupu hled´

an´ı obecn´

eho ˇreˇsen´ı. Rozd´ıl je

v tom, ˇ

ze m´ısto neurˇ

cit´

ych integr´

al˚

u pouˇ

zijeme integr´

aly urˇ

cit´

e.

a) ˇ

Reˇ

sen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy pro homogenn´ı line´

arn´ı rovnice

Hledejme ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

 y0 = a(x)y,

y(x0) = y0,

(3.17)

kde x0 ∈ I a y0 je libovoln´e re´

aln´

e ˇ

c´ıslo. Pˇri ˇreˇsen´ı postupujeme zpoˇ

c´

atku stejnˇ

e

jako v pˇredchoz´ı ˇ

c´

asti. Pˇri integrov´

an´ı rovnice se separovan´

ymi argumenty pouˇ

zijeme

urˇ

cit´

y integr´

al s mezemi x0 a x. Dostaneme

Z

x

x0

dy

y

=

Z

x

x0

a(s)ds,

ln

|y(x)|

|y(x0)|

=

Z

x

x0

a(s)ds,

a nakonec

y(x) = y0 · exp

Z x

x0

a(s)ds

.

(3.18)

Vzorec (3.18) d´

av´

a ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (3.17).

40

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

b) ˇ

Reˇ

sen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy pro homogenn´ı line´

arn´ı rovnice

Pˇredpokl´

adejme, ˇ

ze je nutn´

e naj´ıt ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

 y0 = a(x)y + b(x),

y(x0) = y0,

(3.19)

kde x0 ∈ I a y0 je libovoln´e re´

aln´

e ˇ

c´ıslo. Postupujme tak, ˇ