M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

uˇ

zeme pˇrepsat takto

d(xy) = 0.

Integrov´

an´ım hned obdrˇ

z´ıme ˇreˇsen´ı rovnice v implicitn´ım tvaru:

xy = C,

(3.29)

kde C je libovoln´

y parametr.

Informace pro ty, kteˇ

r´ı zapomnˇ

eli co je to tot´

aln´ı diferenci´

al

V pˇredchoz´ım ˇreˇsen´ı jsme vyuˇ

zili faktu, ˇ

ze levou stranu diferenci´

aln´ı rovnice (3.28)

lze zapsat jako diferenci´

al souˇ

cinu x · y. Tento diferenci´

al se v matematice naz´

yv´

a

tak´

e diferenci´

al prvn´ıho ˇr´

adu nebo tak´

e tot´

aln´ı diferenci´

al. Pokud jste na toto uˇ

civo

pozapomnˇ

eli, n´

asleduj´ıc´ı ˇr´

adky budou jeho pˇripom´ınkou.

Je-li z = f (x, y) funkc´ı dvou promˇ

enn´

ych se spojit´

ymi parci´

aln´ımi derivacemi prvn´ıho

ˇr´

adu v nˇ

ekter´

e oblasti roviny xOy, pak jej´ım tot´

aln´ım diferenci´

alem naz´

yv´

ame

v´

yraz

dz =

∂f

∂x

dx +

∂f

∂y

dy.

(3.30)

Uvaˇ

zujme nyn´ı vztah, kter´

y zobecˇ

nuje situaci z pˇredchoz´ı ˇ

c´

asti (vzorec (3.29)). Je-li

f (x, y) = C,

pak pomoc´ı vztahu (3.30) dost´

av´

ame

∂f

∂x

dx +

∂f

∂y

dy = 0.

(3.31)

Jin´

ymi slovy, je-li d´

ana jednoparametrick´

a mnoˇ

zina kˇrivek vztahem f (x, y) = C,

pak um´ıme sestavit diferenci´

aln´ı rovnici prvn´ıho ˇr´

adu pomoc´ı v´

ypoˇ

ctu tot´

aln´ıho

diferenci´

alu.

3.3. EXAKTN´

I ROVNICE

45

Definice exaktn´ı rovnice

Definice 12 (Exaktn´ı rovnice) Pˇredpokl´

adejme, ˇ

ze v´

yraz obsahuj´ıc´ı difer-

enci´

aly tvaru

M (x, y) · dx + N (x, y) · dy

je tot´

aln´ım diferenci´

alem nˇ

ekter´

e funkce f (x, y) v nˇ

ekter´

e oblasti roviny xOy.

Pak naz´

yv´

ame diferenci´

aln´ı rovnici

M (x, y) · dx + N (x, y) · dy = 0

(3.32)

exaktn´ı diferenci´

aln´ı rovnic´ı. Funkci f (x, y) naz´

yv´

ame kmenovou funkc´ı.

Jak pozn´

ame, ˇ

ze dan´

a diferenci´

aln´ı rovnice je exaktn´ı?

Rozpoznat, ˇ

ze zadan´

a diferenci´

aln´ı rovnice je exaktn´ı je velmi snadn´