M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

∂y

= y(1 − x

2).

Jeho integrac´ı podle promˇ

enn´

e y dost´

av´

ame kmenovou funkci

f (x, y) =

y2

2

(1 − x

2) + h(x),

kde h(x) je libovoln´

a funkce promˇ

enn´

e x. Derivov´

an´ı podle promˇ

enn´

e x vede ke

vztahu

∂f (x, y)

∂x

= −xy

2 + h0(x) = cos x sin x − xy2,

´

upravou kter´

eho dostaneme

h

0(x) = cos x sin x.

Upozornˇ

eme na to, ˇ

ze v´

yraz na prav´

e stranˇ

e je funkc´ı pouze promˇ

enn´

e x (jde o

pravou stranu v´

yrazu (3.40)) Integrace podle promˇ

enn´

e x d´

av´

a

h(x) = −

Z

(cos x)(− sin x) dx = −

1

2

cos

2 x.

Proto

f (x, y) ≡

y2

2

(1 − x

2) −

1

2

cos

2 x

a obecn´

e ˇreˇsen´ı m´

a (implicitn´ı) tvar

y2

2

(1 − x

2) −

1

2

cos

2 x = C

1

nebo

y

2(1 − x2) − cos2 x = C,

kde 2C1 bylo nahrazeno libovoln´

ym parametrem C.

Najdˇ

eme nyn´ı to ˇreˇsen´ı, kter´

e vyhovuje poˇ

c´

ateˇ

cn´ı podm´ınce. Tj., hled´

ame ˇreˇsen´ı

nab´

yvaj´ıc´ı hodnoty y = 2, kdyˇ

z x = 0. Odtud vypl´

yv´

a vztah

4 × 1 − cos

2(0) = C,

ˇreˇsen´ım kter´

eho je hodnota C = 3. ˇ

Reˇsen´ım v´

ychoz´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (3.41) je im-

plicitnˇ

e zadan´

a funkce

y

2(1 − x2) − cos2 x = 3.

50

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

Co je to integraˇ

cn´ı faktor?

Jen takov´

a rovnice, zapsan´

a ve tvaru (3.32), je exaktn´ı, jsou-li splnˇ

eny vztahy (3.35)

a (3.36). Obˇ

cas je moˇ

zn´

e rovnici zapsanou ve tvaru (3.32), kter´

a exaktn´ı nen´ı, na

exaktn´ı tvar pˇrev´

est. Postup k tomu vedouc´ı je n´

asoben´ı takov´

e rovnice vhodnou

funkc´ı, µ(x, y), kterou naz´

yv´

ame integraˇ

cn´ım faktorem. Je-li p˚

uvodn´ı rovnice

takovou funkc´ı vyn´

asobena, potom nov´

a rovnice

µ · M (x, y)dx + µ · N (x, y)dy = 0

je dle pˇredpokladu exaktn´ı. Nov´