M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

f (x, y) =

Z

N (x, y) dy + h(x)

a

h

0(x) = M(x, y) −

∂

∂x

Z

N (x, y) dy

.

(3.40)

V´

yraz na prav´

e stranˇ

e je analogi´ı prav´

e strany vztahu (3.39) a podobnˇ

e se m˚

uˇ

zeme

pˇresvˇ

edˇ

cit, ˇ

ze nebude z´

aviset na promˇ

enn´

e y. Nˇ

ekdy je tento postup v´

yhodnˇ

ejˇs´ı

(to muˇ

ze nastat, napˇr´ıklad, pokud zjist´ıme, ˇ

ze v prvn´ı variantˇ

e je nutn´

e vypoˇ

c´ıtat

komplikovan´

e integr´

aly).

Pan Pˇr´ısn´

y, v´

aˇs pˇr´ısn´

y pr˚

uvodce studiem:

D˚

uraznˇ

e varuji pˇ

red snahou

nauˇ

cit se nazpamˇ

et’ uveden´

e vzorce. Je to zcela zbyteˇ

cn´

e!

Vˇ

enujte m´ısto toho chv´ıli ˇ

casu rozj´ım´

an´ı o samotn´

e myˇ

slence ˇ

reˇ

sen´ı. To je to jedin´

e,

co je potˇ

reba vstˇ

rebat. Ostatn´ı je realizac´ı myˇ

slenky ˇ

reˇ

sen´ı. Pokud nav´ıc propoˇ

c´ıt´

ate

nˇ

ekolik pˇ

r´ıklad˚

u snadno pˇ

resvˇ

edˇ

c´ıte libovoln´

eho zkouˇ

sej´ıc´ıho, ˇ

ze t´

eto l´

atce rozum´ıte.

Pan Hodn´

y, v´

aˇs hodn´

y pr˚

uvodce studiem: Nauˇc´ım V´as jeden uˇziteˇcn´y trik,

kter´

y V´

am m˚

uˇ

ze u zkouˇ

sky ,,zachr´

anit k˚

uˇ

zi“: Pokud testujeme rovnici zapsanou ve

tvaru

G(x, y) · dx = H(x, y) · dy

na exaktnost, pak ji pˇ

rep´ıˇ

seme na rovnici

G(x, y) · dx − H(x, y) · dy = 0.

D´

ale poloˇ

z´ıme M (x, y) ≡ G(x, y) a N (x, y) ≡ −H(x, y) a provˇ

eˇ

rujeme kriterium

exaktnosti.

Pˇ

r´ıklad 16. Najdˇ

ete ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

 (cos x sin x − xy2)dx + y(1 − x2)dy = 0,

y(0) = 2.

(3.41)

ˇ

Reˇ

sen´ı. Dan´

a rovnice je exaktn´ı, protoˇ

ze

M (x, y) ≡ cos x sin x − xy

2, N(x, y) ≡ y(1 − x2)

a parci´

aln´ı derivace

∂M (x, y)

∂y

= −2xy,

∂N (x, y)

∂x

= −2xy

3.3. EXAKTN´

I ROVNICE

49

jsou stejn´

e. Zvolme nyn´ı postup, vych´

azej´ıc´ı ze vztahu (3.36), tj.

∂f (x, y)