M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
rovnic´ı
y
0 = a(x)y.
(3.14)
Pˇrevedeme ji na rovnici s rozdˇ
elen´
ymi promˇ
enn´
ymi (za pˇredpokladu y 6= 0):
dy
y
= a(x)dx
odkud integrac´ı dost´
av´
ame
ln |y| =
Z
a(x)dx + ln |C1|,
kde C1 je libovoln´
a nenulov´
a konstanta a nakonec (postup pr´
ace s konstantami je
pops´
an v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech, proto jiˇ
z neprov´
ad´ıme podrobn´
e vysvˇ
etlov´
an´ı)
y = C · exp
Z
a(x)dx
,
(3.15)
kde C = ±|C1| je libovoln´
a konstanta. Pro hodnotu C = 0 dost´
av´
ame ˇreˇsen´ı
rovnice (3.14), kter´
e bylo v pr˚
ubˇ
ehu ˇreˇsen´ı vylouˇ
ceno. Vzorec (3.15), ve kter´
em
je C libovoln´
a konstanta, d´
av´
a obecn´
e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (3.14).
Krok II: Obecn´
e ˇ
reˇ
sen´ı nehomogenn´ı line´
arn´ı rovnice
Z teorie line´
arn´ıch rovnic n-t´
eho ˇr´
adu vypl´
yv´
a poznatek, kter´
y zde bez d˚
ukazu
uv´
ad´ıme (a odkazujeme t´
eˇ
z na n´
aˇs slib v ˇ
c´
asti 2.7 (str. 29) a na obecnˇ
ejˇs´ı vˇ
etu uve-
denou v ˇ
c´
asti o line´
arn´ıch rovnic´ıch n-t´
eho ˇr´
adu v modulu Obyˇ
cejn´
e diferenci´
aln´ı
rovnice 2:
38
KAPITOLA 3. DIFERENCI ´
ALN´
I ROVNICE PRVN´
IHO ˇ
R ´
ADU
Vˇ
eta 4 (Struktura ˇ
reˇ
sen´ı line´
arn´ı rovnice) Obecn´
e ˇ
reˇ
sen´ı nehomogenn´ı line´
arn´ı
rovnice (3.13), tj. rovnice
y
0 = a(x)y + b(x)
je rovno souˇ
ctu obecn´
eho ˇ
reˇ
sen´ı pˇ
ridruˇ
zen´
e homogenn´ı rovnice a nˇ
ekter´
eho par-
tikul´
arn´ıho ˇ
reˇ
sen´ı nehomogenn´ı rovnice.
Proto n´
am zb´
yv´
a nal´
ezt partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (3.13). Pouˇ
zijeme
tzv. metodu variace konstanty (v obecn´
em pˇr´ıpadˇ
e je uvedena v posledn´ı kapitole
navazuj´ıho modulu Obyˇ
cejn´
e diferenci´
aln´ı rovnice 2). Tato metoda pˇredpokl´
ad´
a, ˇ
ze
zn´
ame obecn´
e ˇreˇsen´ı pˇridruˇ
zen´
e homogenn´ı rovnice (3.15), tj.
y = C · exp
Z
a(x)dx
,
kde C je libovoln´
a konstanta. Partikul´