Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (826.47 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

rovnic´ı

y

0 = a(x)y.

(3.14)

Pˇrevedeme ji na rovnici s rozdˇ

elen´

ymi promˇ

enn´

ymi (za pˇredpokladu y 6= 0):

dy

y

= a(x)dx

odkud integrac´ı dost´

av´

ame

ln |y| =

Z

a(x)dx + ln |C1|,

kde C1 je libovoln´

a nenulov´

a konstanta a nakonec (postup pr´

ace s konstantami je

pops´

an v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech, proto jiˇ

z neprov´

ad´ıme podrobn´

e vysvˇ

etlov´

an´ı)

y = C · exp

Z

a(x)dx

,

(3.15)

kde C = ±|C1| je libovoln´

a konstanta. Pro hodnotu C = 0 dost´

av´

ame ˇreˇsen´ı

rovnice (3.14), kter´

e bylo v pr˚

ubˇ

ehu ˇreˇsen´ı vylouˇ

ceno. Vzorec (3.15), ve kter´

em

je C libovoln´

a konstanta, d´

av´

a obecn´

e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (3.14).

Krok II: Obecn´

e ˇ

reˇ

sen´ı nehomogenn´ı line´

arn´ı rovnice

Z teorie line´

arn´ıch rovnic n-t´

eho ˇr´

adu vypl´

yv´

a poznatek, kter´

y zde bez d˚

ukazu

uv´

ad´ıme (a odkazujeme t´

z na n´

aˇs slib v ˇ

asti 2.7 (str. 29) a na obecnˇ

ejˇs´ı vˇ

etu uve-

denou v ˇ

asti o line´

arn´ıch rovnic´ıch n-t´

eho ˇr´

adu v modulu Obyˇ

cejn´

e diferenci´

aln´ı

rovnice 2:

38

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

eta 4 (Struktura ˇ

reˇ

sen´ı line´

arn´ı rovnice) Obecn´

e ˇ

reˇ

sen´ı nehomogenn´ı line´

arn´ı

rovnice (3.13), tj. rovnice

y

0 = a(x)y + b(x)

je rovno souˇ

ctu obecn´

eho ˇ

reˇ

sen´ı pˇ

ridruˇ

zen´

e homogenn´ı rovnice a nˇ

ekter´

eho par-

tikul´

arn´ıho ˇ

reˇ

sen´ı nehomogenn´ı rovnice.

Proto n´

am zb´

yv´

a nal´

ezt partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (3.13). Pouˇ

zijeme

tzv. metodu variace konstanty (v obecn´

em pˇr´ıpadˇ

e je uvedena v posledn´ı kapitole

navazuj´ıho modulu Obyˇ

cejn´

e diferenci´

aln´ı rovnice 2). Tato metoda pˇredpokl´

ad´

a, ˇ

ze

zn´

ame obecn´

e ˇreˇsen´ı pˇridruˇ

zen´

e homogenn´ı rovnice (3.15), tj.

y = C · exp

Z

a(x)dx

,

kde C je libovoln´

a konstanta. Partikul´

Témata, do kterých materiál patří