M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

D´ılˇ

c´ı c´ıl:

Z´

amˇ

erem t´

eto kapitoly je, abyste po jej´ım prostudov´

an´ı:

• rozpoznali nˇekter´e typy diferenci´

aln´ıch rovnic - jde o rovnice, kter´

e sa naz´

yvaj´ı

separovan´

e, line´

arn´ı a exaktn´ı;

• umˇeli tyto z´

akladn´ı typy diferenci´

aln´ıch rovnic ˇreˇsit.

Pan Hodn´

y, v´

aˇs hodn´

y pr˚

uvodce studiem:

Rovnic, kter´

e um´ıme ˇ

reˇ

sit,

je v´ıce neˇ

z zde uveden´

e tˇ

ri nejjednoduˇ

sˇ

s´ı typy. Pokud si budete cht´ıt znalosti o

ˇ

reˇ

sen´ı rovnic prohloubit, m˚

uˇ

zete pouˇ

z´ıt dalˇ

s´ı uˇ

cebnice nebo skripta o obyˇ

cejn´

ych

diferenci´

aln´ıch rovnic´ıch.

Pan Pˇr´ısn´

y, v´

aˇs pˇr´ısn´

y pr˚

uvodce studiem: Pˇri ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic

budete ˇ

casto pouˇ

z´ıvat, napˇ

r´ıklad, metodu integrace po ˇ

c´

astech, rozklad pod´ılu dvou

mnohoˇ

clen˚

u na souˇ

cet parci´

aln´ıch zlomk˚

u nebo tˇ

reba substituˇ

cn´ı metodu integrace.

Vˇ

enujte nˇ

ekolik minut vaˇ

seho ˇ

casu a zopakujte si tyto integraˇ

cn´ı techniky.

´

Ukol pro v´

as:

Spoˇ

ctˇ

ete dan´

e integr´

aly:

Z

dx

ax + b

,

Z

xe

ax dx,

Z

e

x sin x dx,

Z

x

0

te

t2 dt,

Z

ln x dx,

Z

x + 1

x3 − x2

dx,

Z

cotg x dx.

31

32

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

3.1

Separovan´

a rovnice

Jak vypad´

a rovnice se separovan´

ymi promˇ

enn´

ymi?

Rovnice se separovan´

ymi argumenty m´

a tvar

y

0 = g(x)h(y),

(3.1)

kde pro zjednoduˇsen´ı v´

ykladu v tuto chv´ıli pˇredpokl´

ad´

ame, ˇ

ze funkce g a h jsou

spojit´

e na intervalu R. Charakteristickou vlastnost´ı rovnice (3.1) je to, ˇze jej´ı prav´a

strana je souˇ

cinem dvou funkc´ı. Prvn´ı funkce g(x) z´

avis´ı pouze na promˇ

enn´

e x,

druh´

a funkce h(y) je funkc´ı pouze promˇ

enn´

e y. Tvar (3.1) m˚

uˇ

ze nˇ

ekdy vzniknout

aˇ

z po ´

upravˇ

e nˇ

ekter´

e zadan´

e rovnice. Proto pˇri podezˇren´ı, ˇ

ze dan´

a rovnice m˚

uˇ

ze

b´