M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

aln´ı rovnice

d6y

dx6

+ 2x ·

 dy

dx

7

− 6y

2 = ex ln x

je diferenci´

aln´ı rovnic´ı ˇsest´

eho ˇr´

adu. Obyˇ

cejn´

a diferenci´

aln´ı rovnice

2y

0 · arctg x − y = cos x

4

KAPITOLA 1. Z ´

AKLADN´

I POJMY

je prvn´ıho ˇr´

adu. Parci´

aln´ı diferenci´

aln´ı rovnice

∂2u

∂x2

=

∂u

∂t

+ u

3

je druh´

eho ˇr´

adu.

1.4

Line´

arn´ı a neline´

arn´ı diferenci´

aln´ı rovnice

V modulech o diferenci´

aln´ıch rovnic´ıch budeme ˇ

casto uvaˇ

zovat r˚

uzn´

e intervaly na

ose, odpov´ıdaj´ıc´ı nez´

avisl´

e promˇ

enn´

e. ˇ

Rada naˇsich ´

uvah bude spoleˇ

cn´

a pro intervaly

r˚

uzn´

ych tvar˚

u, otevˇren´

e ˇ

ci uzavˇren´

e, nekoneˇ

cn´

e ˇ

ci koneˇ

cn´

e. Proto zavedeme pro n´

ami

pouˇ

z´ıvan´

y interval znaˇ

cen´ı - symbol I, kter´

y bude jedn´ım z ˇ

c´ıseln´

ych interval˚

u tvaru

[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞), nebo (−∞, ∞), kde a < b.
Pokud bude nutn´

e interval bl´ıˇ

ze specifikovat, provedeme toto upˇresnˇ

en´ı v textu.

Definice 3. Diferenci´

aln´ı rovnici naz´

yv´

ame line´

arn´ı, m˚

uˇ

ze-li b´

yt zaps´

ana

ve tvaru

an(x)y

(n) + a

n−1(x)y

(n−1) + · · · + a

1(x)y

0 + a

0(x)y = g(x)

(1.2)

kde y = y(x) je nezn´

am´

a z´

avisl´

a funkce, ai(x), i = 0, 1 . . . , n, a g(x) jsou dan´e

funkce, definovan´

e na intervalu I.

K pˇredchoz´ı Definici 3 jeˇstˇ

e poznamenejme, ˇ

ze rovnice (1.2) je obyˇ

cejnou difer-

enci´

aln´ı rovnic´ı n-t´

eho ˇr´

adu pokud je v n´ı pˇr´ıtomna derivace y(n). To bude garan-

tov´

ano v pˇr´ıpadˇ

e, ˇ

ze an(x) 6= 0 na intervalu I. Funkce ai(x), i = 0, 1 . . . , n, naz´

yv´

ame

koeficienty rovnice a funkci g(x) naz´

yv´

ame pravou stranou rovnice. Vˇsimnˇ

eme si, ˇ

ze

line´

arn´ı diferenci´

aln´ı rovnice je charakterizov´

ana dvˇ