1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
intervalu
I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že
F (x) = G(x) + c
pro všechna
x ∈ I.
Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém
nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá
pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý
integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například
e−x
2
je neřešitelný ve třídě
elementárních funkcí.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Definice neurčitého integrálu
c
Robert Mařík, 2012 ×
2
Základní vzorce
Věta 3. Nechť
f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak
na intervalu
I platí
Z
f (x) + g(x) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g(x) dx,
Z
cf (x) dx = c
Z
f (x) dx.
Věta 4. Nechť
f je funkce integrovatelná na I.
Pak
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F (ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na in-
tervalu
I. Platí pro ta x, pro která je ax + b ∈ I.
Věta 5. Nechť funkce
f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom
na tomto intervalu platí
Z
f ′(x)
f (x)
d
x = ln |f (x)| .
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
(2
x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x ) dx.
I =
Z
(2
x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x) dx
= 2
Z
x dx + 3
Z
x
1
4
d
x + 6
Z
x−3 dx −
Z
sin
x dx +
Z
ex dx
= 2
x
2
2
+ 3
x
5
/4
5
/4
+ 6
x−
2
−2
− (− cos x) + e
x + C
= x2 +
12
5
x5/4 − 3
1
x2
+ cos x + ex + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
(2
x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x ) dx.
I =
Z
(2
x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x) dx
= 2
Z
x dx + 3
Z
x
1
4
d
x + 6
Z
x−3 dx −
Z
sin
x dx +
Z
ex dx
= 2
x
2
2
+ 3
x
5
/4
5
/4
+ 6
x−
2
−2
− (− cos x) + e