Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
x definována byla (přičemž ovšem není), je limita tím pravým
nástrojem, který nám umožňuje s nekonečnem počítat. Budeme tedy počítat limitu
dané funkce pro
±∞
→
x
, což bude takové číslo, k němuž se bude přibližovat
funkční hodnota dané funkce, bude-li se x stále více blížit
∞
+ či
∞
− .
Na tomto místě je potřeba ještě uvést, že ani limita pro
±∞
→
x
není definována
u každé funkce. Např. není definována
)
sin(
lim
x
x
∞
→
- pokud si čtenář průběh dané funkce
představí, zřejmě ihned pochopí proč.
V jiných případech je limita pro
±∞
→
x
rovna
∞
± . Jako příklad mohu uvést
např.
x
x
3
lim
∞
→
. K výsledku snadnou dospějeme logickou úvahou: Protože nekonečno je
množství větší než jakékoliv číslo, je i trojnásobek takového množství větší než jakékoliv
číslo, je tedy roven
∞ .
Zaměřme se tedy nyní na takové funkce, jejichž limita pro
±∞
→
x
je rovna
konkrétnímu číslu. Takovým typickým příkladem jsou často některé lomené funkce,
tedy funkce takové, kdy v čitateli i ve jmenovateli je polynom. Výpočtem limity takových
lomených funkcí pro
±∞
→
x
se nyní budeme zabývat.
Zcela zásadním předpokladem, z něhož se při výpočtech limity pro
±∞
→
x
vychází, je následující poznatek:
0
lim
=
∞
→ x
k
x
, kde k je libovolné reálné číslo (konstanta).
Jak jsme k tomuto předpokladu dospěli? Vyjděme z definice nekonečna: Nekonečno je
množství větší než jakékoliv číslo. Nyní si zvolme jakoukoliv konstantu, třeba číslo 7, a
postupně ji dělme stále větším a větším číslem. Čím větším číslem ji budeme dělit, tím
více se bude výsledek přibližovat nule. Vydělíme-li konstantu číslem velmi velkým, bude
podíl téměř roven nule. Z toho logicky vyplývá, že pokud tuto konstantu vydělíme
množstvím, které je větší než sebevětší číslo, bude výsledek roven nule. Z tohoto
předpokladu budeme při výpočtech limity pro