3_Diskrétní_signály_a_systémy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
t
i
tedy platí
m
m
t
T
jm
s
k
k
s
s
e
T
kT
t
t
i
2
1
( 1.4 )
a pro navzorkovanou funkci
t
f
s
potom platí
m
m
t
T
jm
s
s
s
e
T
t
f
t
i
t
f
t
f
2
1
( 1.5 )
Určeme nyní spektrum této funkce. Bude
m
m
t
T
jm
s
m
m
t
T
jm
s
s
s
s
s
e
t
f
T
e
t
f
T
t
f
F
2
2
1
1
F
F
F
( 1.6 )
Nyní můžeme využít věty o posunutí obrazu. Pro libovolné a totiž platí
a
F
e
t
f
jat
F
kde
t
f
F
F
( 1.7 )
což znamená, že násobení v časové oblasti komplexním exponenciálním signálem o kmitočtu
a znamená ve frekvenční oblasti posunutí spektra o a . Použijeme-li vztah ( 1.7 ) v rovnici (
1.6) bude
m
m
s
s
m
m
s
s
s
s
m
F
T
T
m
F
T
t
f
F
1
2
1
F
( 1.8 )
kde
t
f
F
F
je spektrum původního spojitého signálu a
s
s
T
/
2
je vzorkovací
frekvence (sampling frequency). Význam tohoto vztahu je tento: spektrum navzorkovaného
signálu je dáno superpozicí (součtem) rovnoměrně posunutých spekter původního spojitého
signálu. Situace je ukázána na Obr. 1-3. V horní části obrázku je spektrum původního spojitého
signálu u kterého předpokládáme, že je omezené na kmitočtu
max
tj. že ve spektru tohoto
signálu se nevyskytují vyšší kmitočty než je tento maximální kmitočet. Jedná se o tzv. signál
s omezeným spektrem (bandlimited signal). Na prostředním obrázku je ukázáno spektrum
navzorkovaného signálu ( 1.8 ) za předpokladu, že
max
max
2
s
s
T
( 1.9 )
Tento vztah se nazývá vzorkovací teorém (sampling theorem) nebo také Shannonův teorém
(Claude Elwood Shannon, americký matematik a kybernetik, *1916), nebo také Shannon-
Kotelnikův teorém (Vladimir Alexandrovič Kotelnikov, ruský matematik, *1908). Tato
podmínka říká, že pokud vzorkujeme alespoň dvakrát rychleji než je nejvyšší kmitočet ve
spektru vzorkovaného signálu potom nedojde ke vzájemnému překrytí spekter při jejich součtu
podle vztahu ( 1.8 ). Jedině za tohoto předpokladu lze z navzorkovaného signálu zpětně
rekonstruovat signál spojitý. Jedině za tohoto předpokladu totiž nedochází při vzorkování ke
ztrátě informace. V dolní části Obr. 1-3 je naopak ukázána situace, kdy tato podmínka není
splněna a dojde při součtu spekter k jejich vzájemnému překrytí. Dojde k efektu, který se
nazývá aliasing efekt.