Sbírka příkladů

Funkce 

sin2𝜋𝑡 = sin𝜔1𝑡  má  periodu  𝑃1 = 2𝜋/𝜔1 = 2𝜋/2𝜋 = 1  a  funkce  cos2,1𝜋𝑡 =

cos𝜔2𝑡  má  periodu  𝑃2 = 2𝜋/𝜔2 = 2𝜋/2,1𝜋 = 2/2,1.  Aby  byla  funkce  𝑓(𝑡)  periodická 

musí  existovat  taková  celá  čísla  𝑛1, 𝑛2  aby  platilo  𝑛1𝑃1 = 𝑛2𝑃2  tj.  𝑃1/𝑃2 = 𝑛2/𝑛1  což 
znamená, že poměr period musí být racionální číslo. V našem případě  

𝑃1
𝑃2

=

1

2/2,1

=

2,1

2

=

21

20

a  je  tedy 

𝑛2 = 21, 𝑛1 = 20 a společnou (základní) periodou je číslo  𝑃 = 𝑛1𝑃1 = 𝑛2𝑃2 =

20.1 = 21.

2

2,1

= 20. Základní kmitočet pak bude 𝜔 = 2𝜋/𝑃 = 2𝜋/20 = 0,1𝜋.  

Jiné řešení: Největší společný dělitel čísel 2𝜋 a 2,1𝜋 je číslo 0,1𝜋 a proto perioda funkce 
𝑓(𝑡) je 𝑃 = 2𝜋/0,1𝜋 = 20 

b)  

m

m

c

m

-3

-3

-2

-2

-1

-1

0

0

+1

+1

+2

+2

+3

+3

1

c

m

arg{

}

-

p/2

+p/2

8 

FEKT VUT v Brně 

Jelikož  𝜔1 = 20𝜔, 𝜔2 = 21𝜔  pak  pro  funkci  𝑓(𝑡)  platí  𝑓(𝑡) = sin20𝜔𝑡 − 2cos21𝜔𝑡  a 
k nalezení spektra lze užít Eulerovy vztahy. 

𝑓(𝑡) = sin20𝜔𝑡 − 2cos21𝜔𝑡 =

𝑒𝑗20𝜔𝑡 − 𝑒−𝑗20𝜔𝑡

2𝑗

− 2

𝑒𝑗21𝜔𝑡 + 𝑒−𝑗21𝜔𝑡

2

= −1𝑒−𝑗21𝜔𝑡 + 0,5𝑗𝑒−𝑗20𝜔𝑡 − 0,5𝑗𝑒𝑗20𝜔𝑡 − 1𝑒𝑗21𝜔𝑡 
Pro koeficienty spektra tedy platí: 𝑐−21 = −1    𝑐−20 = +0,5𝑗    𝑐+20 = −0,5𝑗    𝑐+21 = −1 

c)   

Pro jejich amplitudy a fáze platí:  
|𝑐−21| = 1                |𝑐−20| = 0,5                |𝑐+20| = 0,5                |𝑐+21| = 1
arg{𝑐−21} = +𝜋    arg{𝑐−20} = +𝜋/2    arg{𝑐+20} = −𝜋/2    arg{𝑐+21} = −𝜋