Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Příklad 3.1.06: Je dán spojitý signál 𝑓(𝑡) = 1 − 2cos2𝑡 + sin3𝑡, 𝑡 ∈ (−∞, +∞).
a) Určete, zda je signál periodický.
b) Vypočtěte spektrum signálu.
c) Načrtněte jeho amplitudové a fázové spektrum. Popište osy.
d) Vypočtěte výkon signálu.
Řešení 3.1.06: a)
Signál cos2𝑡 je periodický s periodou 𝑃1 = 𝜋, signál sin3𝑡 je periodický s periodou 𝑃2 =
2𝜋/3. Aby byl signál 𝑓(𝑡) periodický musí být poměr těchto period racionální číslo. Pro
poměr period platí
𝑃1
𝑃2
=
𝜋
2𝜋/3
=
3
2
⇒ 2𝑃1 = 3𝑃2 = 𝑃 = 2𝜋. Signál 𝑓(𝑡) je tedy periodický se základní
periodou
𝑃 = 2𝜋 a základním kmitočtem 𝜔0 = 2𝜋/𝑃 = 1
b)
Signál 𝑓(𝑡) lze vyjádřit ve tvaru konečné Fourierovy řady
𝑓(𝑡) = 1 − 2cos2𝑡 + sin3𝑡 = 1 − 2cos2𝜔0𝑡 + sin3𝜔0𝑡 =
= 1 − 𝑒𝑗2𝜔0𝑡 − 𝑒−𝑗2𝜔0𝑡 −
1
2
𝑗𝑒𝑗3𝜔0𝑡 +
1
2
𝑗𝑒−𝑗3𝜔0𝑡
Tedy nenulové jsou pouze koeficienty 𝑐0 = 1, 𝑐2 = −1, 𝑐−2 = −1, 𝑐3 = −0,5𝑗, 𝑐−3 =
0,5𝑗
c)
Platí
1
+p
p
1
0,5
+p/2
p/2
0,5
c(m)
m
m
0
0
-22
-22
-21
-21
-20
-20
-19
-19
-2
-2
-1
-1
+1
+1
+2
+2
+19
+19
+20
+20
+21
+21
+22
+22
.........
.........
.........
.........
c(m)
arg{ }
BSAS – sbírka příkladů
9
𝑐0 = 1
|𝑐0| = 1
arg𝑐0 = 0
𝑐2 = −1
|𝑐2| = 1
arg𝑐2 = −𝜋
𝑐−2 = −1
|𝑐−2| = 1
arg𝑐−2 = +𝜋
𝑐3 = −0,5𝑗 |𝑐3| = 0,5
arg𝑐3 = −
𝜋
2
𝑐−3 = 0,5𝑗
|𝑐−3| = 0,5 arg𝑐−3 =
𝜋
2
d)
Pro výkon signálu platí (v kmitočtové oblasti):
𝑃𝑊 = ∑ |𝑐𝑚|
2
+∞
𝑚=−∞
= 1 + 1 + 1 + 1/4 + 1/4 = 3,5
Příklad 3.1.07: Je dán spojitý signál 𝑓(𝑡) = −1 − 2sin2𝑡 + cos4𝑡, 𝑡 ∈ (−∞, +∞).
a) Určete, zda je signál periodický.
b) Vypočtěte spektrum signálu.
c) Načrtněte jeho amplitudové a fázové spektrum. Popište osy.
d) Vypočtěte výkon signálu.