Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b)
Z obrázku je patrno, že signál je periodický se základní periodou
𝑇 a základním kmitočtem
𝜔0 = 2𝜋/𝑇
c)
Pro koeficient
𝑐0 (stejnosměrná složka signálu) Fourierovy řady platí
𝑐0 =
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
=
1
𝑇
∫ 𝑡𝑑𝑡
𝑇
0
=
1
𝑇
[
𝑡2
2
]
0
𝑇
=
1
𝑇
𝑇2
2
=
𝑇
2
Pro ostatní koeficienty 𝑐𝑚, 𝑚 = ±1, ±2, . . .. platí (uvažte, že 𝜔0𝑇 = 2𝜋):
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
3
1
m
m
-2
-2
-3
-3
-4
-4
4
4
p/2
p
p
p/2
0,5
cm
c m
arg
f(t)
t
0
T
T
2T
-T
BSAS – sbírka příkladů
11
𝑐𝑚 =
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡𝑑𝑡
𝑇
0
=
1
𝑇
∫ 𝑡𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡𝑑𝑡
𝑇
0
=
1
𝑇
[𝑡
𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡
−𝑗𝑚𝜔0
]
0
𝑇
−
1
𝑇
∫
𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡
−𝑗𝑚𝜔0
𝑑𝑡
𝑇
0
=
=
1
𝑇
[𝑇
𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑇
−𝑗𝑚𝜔0
] +
1
𝑗𝑚𝜔0𝑇
∫ 𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡𝑑𝑡
𝑇
0
= 𝑗
𝑇
𝑚2𝜋
+
1
𝑚22𝜋𝜔0
(𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑇 − 1) =
= 𝑗
𝑇
𝑚2𝜋
+
1
𝑚22𝜋𝜔0
(1 − 1) = 𝑗
𝑇
𝑚2𝜋
|𝑐𝑚| = |𝑗
𝑇
𝑚2𝜋
| =
𝑇
2𝜋
|
1
𝑚
| arg𝑐𝑚 = {
+𝜋/2 𝑚 ≥ 1
−𝜋/2 𝑚 ≤ −1
d)
Pro
𝑇 = 2𝜋 platí 𝑐0 = 𝜋 a pro ostatní koeficienty platí
|𝑐𝑚| = |
1
𝑚
| arg𝑐𝑚 = {
+𝜋/2
𝑚 ≥ 1
−𝜋/2
𝑚 ≤ −1
.
Příklad 3.1.09: Je dán spojitý signál 𝑓(𝑡) = 1 − 8cos
𝑡
2
sin
𝑡
2
, 𝑡 ∈ (−∞, +∞).
a) Rozhodněte, zda je signál periodický. V případě že ano, určete jeho základní periodu a
základní kmitočet.
b) Vypočtěte spektrum tohoto signálu.
c) Načrtněte amplitudové a fázové spektrum signálu. Popište a ocejchujte osy.
d) V případě, že tento signál je periodický určete jeho výkon, v případě, že není periodický
určete jeho energii.
Řešení 3.1.09: a)
Platí 𝑓(𝑡) = 1 − 8sin
𝑡
2
cos
𝑡
2
= 1 − 4sin𝑡. Signál je periodický se základní periodou 𝑃 =
2𝜋 a základní kmitočtem 𝜔0 = 2𝜋/𝑃 = 2𝜋/2𝜋 = 1.