Elektrotechnika_1_Skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
( 3.21 )
Je zřejmé, že druhá rovnice nepřináší žádnou novou informaci, je lineárně závislá na první
rovnici. Proto můžeme pro další výpočty použít pouze jedné z rovnic. Ukazuje se obecně, že
pro obvod s celkovým počtem n uzlů můžeme formulovat pouze n-1 rovnici. Je to dáno tím,
že obvod jako celek tvoří uzavřenou soustavu, takže součet všech proudů v obvodu musí být
roven nule. Závislým uzlem může být kterýkoliv uzel obvodu, zbylé uzly jsou pak nezávislé.
Další rovnice vycházejí z 2. Kirchhoffova zákona aplikovaného na nezávislé smyčky
v obvodu. Stanovení nezávislých smyček je nejednoznačnou záležitostí. U jednoduchých
obvodů můžeme použít pravidlo, že nezávislé smyčky jsou oka obvodu. Obecně platí, že
počet s nezávislých smyček je dán počtem v všech větví obvodu, zmenšeného o počet n-1 nezávislých uzlů, tj.
1
+
−
=
n
v
s
.
( 3.22 )
V uvedeném obvodu jsou tři větve a jeden nezávislý uzel, tzn. jsou zde dvě nezávislé smyčky.
1 2
Elektrotechnika 1
63
Pokud je zvolíme jako oka (smyčky 1 a 2), dostáváme rovnice:
0
3
1
01
=
+
+
−
U
U
U
,
( 3.23 )
0
02
2
3
=
+
+
−
U
U
U
.
( 3.24 )
Pro třetí možnou smyčku (složenou) bychom dostali
0
02
2
1
01
=
+
+
+
−
U
U
U
U
. Tato rovnice
je však opět lineárně závislá na prvních dvou a proto pro výpočet nepoužitelná.
Uvážíme-li dále Ohmův zákon, lze formulovat tři rovnice pro napětí na rezistorech
3
3
3
2
2
2
1
1
1
.
,
.
,
.
I
R
U
I
R
U
I
R
U
=
=
=
.
( 3.25 )
Rovnice ( 3.25 ) můžeme dosadit do ( 3.23 ) a ( 3.24 ), čímž spolu s rovnicí např. ( 3.20 )
dostáváme soustavu tří rovnic pro všechny větvové proudy I1, I2 a I1. Rovnice lze psát v
maticovém tvaru:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
02
01
3
2
1
3
2
3
1
0
0
0
1
1
1
U
U
I
I
I
R
R
R
R
.
( 3.26 )
Podobně lze soustavu rovnic formulovat také pro napětí na všech prvcích v obvodu.
V uvedeném příkladě tak, že se z rovnic ( 3.25 ) vyjádří proudy a dosadí např. do rovnice
( 3.20 ). Ta pak spolu s rovnicemi ( 3.23 ) a ( 3.24 ) tvoří soustavu tří rovnic pro tři napětí.
Analýza obvodů přímou aplikací Kirchhoffových zákonů je základní a nejobecnější
metoda. Jejím výsledkem jsou proudy či napětí na všech prvcích obvodu.
Nevýhodou metody je skutečnost, že vede na příliš vysoký počet rovnic i pro poměrně
jednoduché obvody, jak demonstruje Příklad 3.15 .
Příklad 3.15: