3.Derivace-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
= ln
2 x + x 2 ln x
1
x
= (2 + ln x) ln x
Derivace funkce
x je vzorec.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y = x ln
2 x.
y0 = ( x ln
2 x )0 = (x)0 · ln2 x + x · (ln2 x)0
= 1 · ln
2 x + x · 2 ln x · (ln x)0
= ln
2 x + x 2 ln x
1
x
= (2 + ln x) ln x
• Funkce ln
2 x je slozˇena´, jedna´ se o funkci (ln x)2.
• Vne
ˇ jsˇı´ slozˇka je druha´ mocnina, vnitrˇnı´ je logaritmus.
• Pro derivaci sloz
ˇene´ funkce uzˇijeme rˇeteˇzove´ pravidlo
[
f (g(x))]0 = f 0(g(x))g0(x)
(
g2(x))0 = 2g(x)g0(x) .
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y = x ln
2 x.
y0 = ( x ln
2 x )0 = (x)0 · ln2 x + x · (ln2 x)0
= 1 · ln
2 x + x · 2 ln x · (ln x)0
= ln
2 x + x 2 ln x
1
x
= (2 + ln x) ln x
Derivace logaritmu je tabelova´na.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y = x ln
2 x.
y0 = ( x ln
2 x )0 = (x)0 · ln2 x + x · (ln2 x)0
= 1 · ln
2 x + x · 2 ln x · (ln x)0
= ln
2 x + x 2 ln x
1
x
= (2 + ln x) ln x
x
1
x
= 1 a vytkneme ln x. Hotovo!
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y = (x
2
+ 3x)e
−2x
y0 =
x2 + 3x
0
· e
−2x + (x
2
+ 3x) ·
e−2x
0
=
(
x2)0 + 3(x)0
· e
−2x + (x
2
+ 3x) · e
−2x (−2x)0
=
2
x + 3 · 1
· e
−2x + (x
2
+ 3x) · e
−2x · (−2) · (x)0
=
2
x + 3
· e
−2x + (x
2
+ 3x) · e
−2x · (−2) · 1
=
2
x + 3 + (−2)(x
2
+ 3x)
e−2x
=
−2x
2
− 4x + 3
e−2x = −
2
x2 + 4x − 3
e−2x
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Derivujte
y = (x
2
+ 3x)e
−2x
y0 =
x2 + 3x
0
· e
−2x + (x
2
+ 3x) ·
e−2x
0
=
(
x2)0 + 3(x)0
· e
−2x + (x
2
+ 3x) · e