Matematický seminář - doc. E. Kolářová

y

v´

yrok, kter´

y mus´ıme logicky odvodit - dok´

azat - z axiom˚

u, definic a dˇr´ıve dok´

azan´

ych

vˇ

et. Podle pouˇ

zit´

ych postup˚

u rozliˇsujeme d˚

ukaz pˇr´ım´

y, nepˇr´ım´

y, d˚

ukaz sporem, d˚

ukaz

matematickou indukc´ı.

Pˇ

r´ıklad 2.6 Vˇ

eta: Souˇ

cin dvou libovoln´

ych sud´

ych ˇ

c´ısel je dˇ

eliteln´

y ˇ

ctyˇ

rmi.

D˚

ukaz pˇ

r´ım´

y:

Jde o souˇ

cin 2l

· 2k = 4lk (l, k ∈ Z) a to bylo dok´azat.

Pˇ

r´ıklad 2.7 Vˇ

eta: Necht’ rovnice ax2 + bx + c = 0 m´

a celoˇ

c´ıseln´

e koeficienty, a

6= 0, b je

ˇ

c´ıslo lich´

e. Dokaˇ

zte, ˇ

ze rovnice nem˚

uˇ

ze m´ıt dvojn´

asobn´

y koˇ

ren.

D˚

ukaz sporem:

Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze rovnice m´

a dvojn´

asobn´

y koˇ

ren. Pak diskriminant je nulov´

y. V´ıme, ˇ

ze

b = 2k + 1, k

∈ Z. Tedy D = (2k + 1)

2 − 4ac = 0 ⇒ 4k2 + 4k + 1 = 4ac. Na lev´e

stranˇ

e rovnice je lich´

e ˇ

c´ıslo, na prav´

e stranˇ

e sud´

e a to je spor. Neplat´ı tedy pˇ

redpoklad, ˇ

ze

kvadratick´

a rovnice m´

a za dan´

ych podm´ınek dvojn´

asobn´

y koˇ

ren.

Pˇ

r´ıklad 2.8 Matematickou indukc´ı dokaˇ

zte, ˇ

ze

souˇ

cet ˇ

ctverc˚

u prvn´ıch n pˇ

rirozen´

ych

ˇ

c´ısel je roven Sn =

1
6 n(n + 1)(2n + 1).

D˚

ukaz:

Matematickou indukc´ı dokazujeme v´

yrok V (n) tak, ˇ

ze nejprve dok´

aˇ

zeme platnost V (a),

kde a je nejmenˇ

s´ı pˇ

rirozen´

e ˇ

c´ıslo pro danou ´

ulohu. Pak pˇ

redpokl´

ad´

ame platnost V (n) a

uk´

aˇ

zeme platnost implikace V (n)

⇒ V (n + 1). Pak V (n) plat´ı pro vˇsechna n.

V naˇ

sem pˇ

r´ıpadˇ

e:

V (1) : S1 =

1
6 · 1 · 2 · 3 = 1, coˇ

z odpov´ıd´

a S1 = 1

2.

Pˇ

redpokl´

ad´

ame V (n) : Sn =

1
6 n(n + 1)(2n + 1).

Poˇ

c´ıt´

ame V (n + 1) : S(n + 1) = S(n) + (n + 1)

2 = 1

6 n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)