Matematický seminář - doc. E. Kolářová

r´ımka je urˇ

cena body A[6;

−1], B[2; 3]. Najdˇete vˇsechny tvary rovnice t´eto

pˇ

r´ımky.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Smˇ

erov´

y vektor t´

eto pˇ

r´ımky je ~

s = (

−4; 4). Parametrick´e rovnice tedy jsou

x = 6

− 4t, y = −1 + 4t, t ∈ R.

Seˇ

cten´ım tˇ

echto rovnic a vylouˇ

cen´ım parametru t dostaneme obecnou rovnici

x + y

− 5 = 0.

Jednoduchou ´

upravou dost´

av´

ame

x

5

+

y

5

= 1,

pˇ

ripom´ın´

ame t´ımto ´

usekov´

y tvar rovnice pˇ

r´ımky. ´

Useky, kter´

e pˇ

r´ımka vyt´ın´

a na souˇ

radnicov´

ych

os´

ach jsou stejn´

e a rovny pˇ

eti.

Z obecn´

eho tvaru odvod´ıme smˇ

ernicov´

y

y =

−x + 5.

Vid´ıme, ˇ

ze smˇ

ernice k =

−1, ´uhel pˇr´ımky s kladn´ym smˇerem osy x je α =

3π

4 .

Pˇ

r´ıklad 3.2 V troj´

uheln´ıku ABC, kde A[7; 8], B[5;

−2], C[−3; −6], urˇcete velikost v´yˇsky

va a napiˇste rovnici pˇr´ımky, na n´ıˇz leˇz´ı v´

yˇ

ska va.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

V´

yˇ

ska va m´

a velikost rovnou vzd´

alenosti bodu A od pˇ

r´ımky p, na n´ıˇ

z leˇ

z´ı strana BC.

Je

~

BC = C

− B = (−8; −4).

Parametrick´

e rovnice pˇ

r´ımky p jsou:

x =

−3 − 8t, y = −6 − 4t.

Odtud obecn´

a rovnice x

− 2y − 9 = 0. Tedy

d(A, p) =

|1 · 7 − 2 · 8 − 9|

√

1 + 4

=

18

√

5

5

.

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

11

Smˇ

ernicov´

a rovnice pˇ

r´ımky p je y =

x

2 −

9
2 , smˇ

ernice v´

yˇ

sky va je tedy

k =

−

1

1
2

=

−2.

Rovnice pˇ

r´ımky rovnobˇ

eˇ

zn´

e s v´

yˇ

skou pak je y =

−2x + q a posunut´ı q dostaneme z

podm´ınky, ˇ

ze v´

yˇ

ska va bodem A proch´

az´ı, tedy 8 =

−2 · 7 + q ⇒ q = 22.

Je tedy

−2x + 22 = y rovnice pˇr´ımky na n´ıˇz v´yˇska va leˇz´ı.

Pˇ

r´ıklad 3.3 Urˇ

cete odchylku pˇ

r´ımek

p1

≡ 3x − 2y + 10 = 0 a p2 ≡ 5x + y − 13 = 0.