Matematický seminář - doc. E. Kolářová

2 =

1
6 (n + 1)(2n

2 + 7n + 6) = 1

6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3).

Matematick´

y semin´

aˇ

r

8

Pˇ

r´ıklad 2.9 Necht’ mnoˇ

zina

M je mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı rovnice cos

πx

2

= 0, mnoˇ

zina

N

je mnoˇ

zina vˇ

sech ˇ

reˇ

sen´ı rovnice sin πx = 0. Najdˇ

ete

M ∪ N , M ∩ N .

[

M ∪ N = Z; M ∩ N = kladn´a a z´aporn´a lich´a ˇc´ısla ]

Pˇ

r´ıklad 2.10 Najdˇ

ete sjednocen´ı a pr˚

unik interval˚

u:

a)

h2; 3) a h−1; ∞)

b) (

−∞; 3i a (−8; 15)

[a)

h−1; ∞), h2; 3) b) (−∞; 15), (−8; 3i]

Pˇ

r´ıklad 2.11 Pˇ

r´ım´

ym d˚

ukazem dokaˇ

zte:

a) Zvˇ

etˇ

s´ı-li se ˇ

c´ıslo a o x, zvˇ

etˇ

s´ı se jeho druh´

a mocnina o x(2a + x).

b) Zvˇ

etˇ

s´ı-li se ˇ

c´ıslo x o h, zvˇ

etˇ

s´ı se jeho dekadick´

y logaritmus o log (1 +

h
x ).

c) Souˇ

cet dvou ˇ

c´ısel lich´

ych je sud´

e ˇ

c´ıslo.

Pˇ

r´ıklad 2.12 Sporem dokaˇ

zte:

a) Rovnice ax = b, kde a

6= 0, m´a jedin´e ˇreˇsen´ı.

b) V kaˇ

zd´

em troj´

uheln´ıku leˇ

z´ı proti stejn´

ym ´

uhl˚

um stejn´

e strany.

Pˇ

r´ıklad 2.13 Metodou matematick´

e indukce dokaˇ

zte:

a) 1 + 3 + 32 + . . . + 3n−1 =

1
2 (3

n − 1)

b) 1

· 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) =

1
3 n(n + 1)(n + 2)

c) 12 + 32 + 52 + . . . + (2n

− 1)

2 = 1

3 n(2n − 1)(2n + 1)

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

9

3

Vektorov´

a algebra a analytick´

a geometrie

3.1

Z´

akladn´ı operace s vektory

Vektorem naz´

yv´

ame mnoˇ

zinu vˇsech souhlasnˇ

e orientovan´

ych ´

useˇ

cek t´

eˇ

ze velikosti.

Je-li ~

u = ~

AB libovoln´

y nenulov´

y vektor s poˇ

c´

ateˇ

cn´ım bodem A[a1; a2; a3] a koncov´

ym

bodem B[b1; b2; b3], pak souˇ

radnice vektoru ~

u jsou:

u1 = b1

− a1, u2 = b2 − a2, u3 = b3 − a3.