Matematický seminář - doc. E. Kolářová

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Je cos ϕ =

|a1a2 + b1b2|

pa2

1 + b

2

1

pa2

2 + b

2

2

=

|3 · 5 − 2 · 1|

√

9 + 4

√

25 + 1

=

|13|

√

13

√

26

=

√

2

2

, tedy ϕ =

π

4

.

3.3

Pˇ

r´ımka v prostoru a rovnice roviny

Pˇ

r´ımka p v prostoru:

Je-li pˇr´ımka p urˇ

cena bodem A[a1; a2; a3] a nenulov´

ym smˇ

erov´

ym vektorem ~

s(s1; s2; s3)

jsou jej´ı parametrick´

e rovnice

x = a1 + ts1, y = a2 + ts2, z = a3 + ts3, t

∈ R.

Zkr´

acen´

y z´

apis p

≡ {[a1 + ts1; a2 + ts2; a3 + ts3], t ∈ R}.

Pˇr´ımku v prostoru lze tak´

e zadat jako pr˚

useˇ

cnici dvou r˚

uznobˇ

eˇ

zn´

ych rovin.

Rovina % v prostoru:

Je-li rovina % urˇ

cena bodem A[a1; a2; a3] a dvˇema nenulov´

ymi, nekoline´

arn´ımi vektory

~

u(u1; u2; u3) a ~v(v1; v2; v3) jsou jej´ı parametrick´

a rovnice

x = a1 + tu1 + rv1, y = a2 + tu2 + rv2, z = a3 + tu3 + rv3, t, r

∈ R.

Zkr´

acen´

y z´

apis %

≡ {[a1 + tu1 + rv1; a2 + tu2 + rv2; a3 + tu3 + rv3], t, r ∈ R}.

Vylouˇ

cen´ım parametr˚

u t, r z parametrick´

ych rovnic dostaneme obecnou (norm´

alovou)

rovnici roviny % ve tvaru

ax + by + cz + d = 0,

kde alespoˇ

n jeden z koeficient˚

u a, b, c je nenulov´

y.

Vektor ~

n(a; b; c) je norm´

alov´

y vektor roviny %.

Vzd´

alenost bodu X[x0; y0; z0] od roviny % je

d(X, %) =

|ax0 + by0 + cz0 + d|

√

a2 + b2 + c2

.

Matematick´

y semin´

aˇ

r

12

Pˇ

r´ıklad 3.4 Najdˇ

ete rovnici roviny %, kter´

a proch´

az´ı bodem A[5;

−1; 0] a m´a norm´alov´y

vektor ~

n(

−1; 1; 2).

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Souˇ

radnice norm´

alov´

eho vektoru jsou koeficienty a, b, c v obecn´

e rovnici roviny. Tedy

%

≡ −x + y + 2z + d = 0.

Bod A leˇ

z´ı v rovinˇ

e, potom

−5 − 1 + 0z + d = 0 ⇒ d = 6.