Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
%
≡ −x + y + 2z + 6 = 0
Pˇ
r´ıklad 3.5 Rovina % je urˇ
cena body A[4; 0; 3], B[4; 1; 5], C[1; 2;
−3]. Najdˇete paramet-
rick´
e vyj´
adˇ
ren´ı a obecnou (norm´
alovou) rovnici %.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Je ~
AB = (0; 1; 2), ~
AC = (
−3; 2; −6). Pak parametrick´e rovnice roviny % jsou
x = 4 + 0t
− 3r, y = 0 + t + 2r, z = 3 + 2t − 6r, t, r ∈ R.
Vylouˇ
cen´ım parametr˚
u t, r z tˇ
echto rovnic dostaneme
%
≡ 10x + 6y − 3z − 31 = 0.
Pˇ
r´ıklad 3.6 Urˇ
cete vzd´
alenost dvou rovnobˇ
eˇ
zn´
ych rovin:
%1
≡ 4x − 2y − 2z − 3 = 0, %2 ≡ 2x − y − z − 1 = 0.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
V rovinˇ
e %1 vol´ıme napˇr´ıklad bod X(0; 0;
−
3
2 ) a poˇ
c´ıtame
d(X, %2) =
|
3
2 − 1|
√
4 + 1 + 1
=
1
2
√
6
=
√
6
12
.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
13
3.4
Kuˇ
zeloseˇ
cky v rovinˇ
e
Kruˇ
znice k(S, r) se stˇredem v S[m; n] a polomˇ
erem r > 0 m´
a stˇredovou rovnici
(x
− m)
2 + (y − n)2 = r2.
Elipsa se stˇredem v bodˇ
e S[m; n] a poloosami (rovnobˇ
eˇ
zn´
ymi se souˇradnicov´
ymi osami)
velikosti a a b m´
a stˇredovou rovnici
(x
− m)
2
a2
+
(y
− n)
2
b2
= 1.
r
0
S[m,n]
y
x
Kruˇ
znice k(S, r)
a
b
0
S[m,n]
y
x
Elipsa
Pˇ
r´ıklad 3.7 Urˇ
cete rovnici kruˇ
znice k, je-li urˇ
cena stˇ
redem S a polomˇ
erem r :
a) S[0;
−3], r =
√
2
b) S[
−1; 1], r = 1
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Dosazen´ım do stˇ
redov´
eho tvaru rovnice kruˇ
znice dostaneme:
a) (x
− 0)
2 + (y + 3)2 = (
√
2)2
⇒ x
2 + (y + 3)2 = 2
b) (x + 1)2 + (y
− 1)
2 = 1
Pˇ
r´ıklad 3.8 Najdˇ
ete stˇ
red a polomˇ
er kruˇ
znice k
≡ x
2 + y2 − 5x + 4y = 2.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Rovnici kruˇ
znice uprav´ıme doplnˇ
en´ım na ´