Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
upln´
y ˇ
ctverec:
x
2 − 5x + (
5
2
)
2 + y2 + 4y + 4 = 2 + (
5
2
)
2 + 4
(x
−
5
2
)
2 + (y + 2)2 = (
7
2
)
2
⇒
S[
5
2
;
−2], r =
7
2
.
Matematick´
y semin´
aˇ
r
14
Pˇ
r´ıklad 3.9 Rozhodnˇ
ete, zda rovnice
a) 25x2 + 16y2 + 100x
− 96y − 156 = 0
b) 9x2 + 4y2
− 36x + 40y + 152 = 0
je rovnic´ı elipsy. Urˇ
cete stˇ
red a d´
elku poloos.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Uprav´ıme:
25(x2 + 4x + 4) + 16(y2
− 6y + 9) = 156 + 100 + 144
⇒ 25(x + 2)
2 + 16(y − 3)2 = 400 ⇒
(x + 2)2
42
+
(y
− 3)
2
52
= 1
Je tedy S[
−2; 3], a = 4, b = 5.
b) Podobnˇ
e
9(x2
− 4x + 4) + 4(y
2 + 10y + 25) = −152 + 36 + 100
⇒ 9(x − 2)
2 + 4(y + 5)2 = −16.
Na lev´
e stranˇ
e je ˇ
c´ıslo nez´
aporn´
e, na prav´
e z´
aporn´
e, dan´
a rovnice nen´ı rovnici elipsy.
Hyperbola se stˇredem v bodˇ
e S[m; n] a poloosami (rovnobˇ
eˇ
zn´
ymi se souˇradnicov´
ymi
osami) a a b m´
a stˇredovou rovnici
(x
− m)
2
a2
−
(y
− n)
2
b2
= 1
nebo
−
(x
− m)
2
a2
+
(y
− n)
2
b2
= 1.
0
S
y
x
0
S
y
x
Pˇ
r´ıklad 3.10 Najdˇ
ete pr˚
useˇ
c´ıky hyperboly
−49x
2 + 16y2 = −25 s osou Ox (vrcholy hy-
perboly).
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Rovnice osy Ox je y = 0, pak
−49x
2 = −25 ⇒ x1,2 = ±
5
7 .
Je tedy V1[
5
7 ; 0], V2[−
5
7 ; 0].
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
15
Parabola je nestˇredov´
a kuˇ
zeloseˇ
cka. Je-li jej´ı vrchol V [m; n], pak rovnice paraboly je
(y
− n)
2 = 2p(x − m)
nebo
(x
− m)
2 = 2p(y − n).
V
0
y
x
osa paraboly je rovnobˇ
eˇ
zn´
a
s osou x, p > 0
V
0
y
x
osa paraboly je rovnobˇ
eˇ
zn´
a
s osou y, p > 0
Pˇ
r´ıklad 3.11 Najdˇ
ete vrchol a osy paraboly 3y2
− 6x + 12y + 15 = 0.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Uprav´ıme na vrcholov´