Matematický seminář - doc. E. Kolářová

Zapisujeme ~

u(u1; u2; u3).

Je-li A = B, pak dost´

av´

ame vektor nulov´

y ~

o(0; 0; 0).

U vektor˚

u v rovinˇ

e vypust´ıme tˇret´ı souˇradnici.

Pro vektory ~

u(u1; u2; u3) a ~v(v1; v2; v3) zav´

ad´ıme:

velikost vektoru

|~u| =

pu2

1 + u

2

2 + u

2

3

rovnost vektor˚

u

~

u = ~

v

⇔ (u1 = v1) ∧ (u2 = v2) ∧ (u3 = v3)

souˇ

cet vektor˚

u

~

u + ~

v = ~

w = (u1 + v1; u2 + v2; u3 + v3)

rozd´ıl vektor˚

u

~

u

− ~v = ~

w = (u1

− v1; u2 − v2; u3 − v3)

opaˇ

cn´

y vektor k ~

u

−~u = (−u1; −u2; −u3)

k-n´

asobek vektoru

k~

u = (ku1; ku2; ku3), k

∈ R, k 6= 0

skal´

arn´ı souˇ

cin

~

u

· ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3

´

uhel ϕ dvou vektor˚

u

cos ϕ =

~

u

· ~v

|~u| · |~v|

, ϕ

∈ h0; 2π)

3.2

Pˇ

r´ımka v rovinˇ

e

Pˇ

r´ımka p v rovinˇ

e:

Je-li pˇr´ımka p urˇ

cena bodem A[a1; a2] a nenulov´

ym smˇ

erov´

ym vektorem ~

s(s1; s2) jsou jej´ı

parametrick´

e rovnice

x = a1 + ts1, y = a2 + ts2, t

∈ R.

Budeme pouˇ

z´ıvat i zkr´

acen´

y z´

apis p

≡ {[a1 +ts1; a2 +ts2], t ∈ R}. Vylouˇcen´ım parametru

t z parametrick´

ych rovnic dostaneme obecnou rovnici pˇr´ımky

p

≡ ax + by + c = 0.

Je-li v t´

eto rovnici b

6= 0, lze naj´ıt smˇernicov´

y tvar p

≡ y = kx + q; k, q ∈ R.

Matematick´

y semin´

aˇ

r

10

Vzd´

alenost bodu M [x0; y0] od pˇ

r´ımky p

≡ ax + by + c = 0 je d´ana

d(M, p) =

|ax0 + by0 + c|

√

a2 + b2

.

Pro odchylku dvou pˇ

r´ımek p1

≡ a1x + b1y + c1 = 0 a p2 ≡ a2x + b2y + c2 = 0 lze

odvodit

cos ϕ =

|a1a2 + b1b2|

pa2

1 + b

2

1

pa2

2 + b

2

2

, ϕ

∈ h0;

π

2

i.

Jsou-li pˇr´ımky p1 a p2 kolm´e, pak pro jejich smˇernice k1 a k2 plat´ı k1

· k2 = −1.

Pˇ

r´ıklad 3.1 Pˇ