Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Pro x < 0 :
V = (
−2x)
3 − 4x2 + (−2x)2 +
−2x
x
=
−8x
3 − 2
b) V =
x3
− 3x
2 − x + 3
x3
− 2x2 − 3x
ˇ
Reˇ
sen´ı:
V =
x(x2
− 1) − 3(x
2 − 1)
x(x2
− 2x − 3)
=
(x
− 1)(x + 1)(x − 3)
x(x + 1)(x
− 3)
=
x
− 1
x
,
plat´ı pro x
6= 0, x 6= −1, x 6= 3.
Matematick´
y semin´
aˇ
r
20
c) V =
a2b−2
− ab−
1 + a−2b2 − a−1b
(a−1
− b−1)(ab−1 + a−1b + 1)
ˇ
Reˇ
sen´ı:
V =
a2
b2 −
a
b +
b2
a2 −
b
a
(
1
a −
1
b )(
a
b +
b
a + 1)
·
a2b2
a2b2
=
a4
− a
3b + b4 − ab3
(b
− a)(a2 + b2 + ab)
=
=
a3(a
− b) − b
3(a − b)
−(a − b)(a2 + ab + b2)
=
(a
− b)(a
3 − b3)
−(a3 − b3)
= b
− a,
pro a
6= 0 ∧ b 6= 0 ∧ a 6= b.
d) V =
x3 + x2
− x − 1
√
x2 + 1
+
x3
− x
2 − x + 1
1
−
√
x2
ˇ
Reˇ
sen´ı:
(x3 + x2
− x − 1)(1 −
√
x2) + (x3
− x
2 − x + 1)(1 +
√
x2)
1
− x2
=
=
2x3
− 2x − 2x
2|x| + 2|x|
1
− x2
= 2
x(x2
− 1) − |x|(x
2 − 1)
1
− x2
= 2(
|x| − x);
Pro x
6= 1 ∧ x ≥ 0 : V = 0
Pro x
6= 1 ∧ x < 0 : V = −2x
4.2
Rovnice
Jsou-li f (x) a g(x) funkce promˇ
enn´
e x definovan´
e na mnoˇ
zinˇ
e
D ⊂ R, pak ´uloha naj´ıt
vˇsechna x
∈ D pro nˇeˇz f(x) = g(x) znamen´a ˇreˇsit rovnici o jedn´e nezn´am´e.
Line´
arn´ı rovnici o jedn´
e nezn´
am´
e x
∈ R lze ps´at ve tvaru
ax + b = 0,
kde a
∈ R, b ∈ R, a 6= 0. M´a pr´avˇe jeden koˇren x = −
b
a .
Graficky tento koˇren urˇ
c´ıme jako pr˚
useˇ
c´ık pˇr´ımky y = ax + b s osou x.
Pˇ
r´ıklad 4.2 V oboru re´
aln´
ych ˇ
c´ısel ˇ
reˇ
ste rovnici
2(x
− 1)
11
−
x
− 3
2
= 9
−
5(x + 1)
8
.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Celou rovnici vyn´
asob´ıme 8
· 11, t´ım se zbav´ıme zlomk˚