Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
yraz˚
u s nezn´
amou
x
∈ R. Jestliˇze stanov´ıme podm´ınky ˇreˇsitelnosti a ˇreˇs´ıme ekvivalentn´ımi ´upravami, pak
zkouˇska nen´ı nutn´
a.
Pˇ
r´ıklad 4.12 ˇ
Reˇ
ste v R logaritmick´
e rovnice:
a) log x +
3
log x
= 4
b)
1
2
log(2x
− 3) = log(x − 3)
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Podm´ınky: x > 0
∧ log x 6= 0 ⇒ x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞).
Rovnici vyn´
asob´ıme log x, dostaneme
log
2x − 4 log x + 3 = 0
Odtud log x1 = 3
∨ log x2 = 1, je tedy x1 = 10
3 ∨ x2 = 101.
Obˇ
e ˇ
reˇ
sen´ı patˇ
r´ı do oboru ˇ
reˇ
sitelnosti.
b) Podm´ınky x >
3
2 ∧ x > 3 ⇒ x > 3.
´
Upravou log(2x
− 3) = 2 log(x − 3).
Pak 2x
− 3 = (x − 3)
2, neboli 2x − 3 = x2 − 6x + 9.
Z toho 0 = x2
− 8x + 6 ⇒ x1 = 4, x2 = 2.
Podm´ınk´
am vyhovuje pouze x1 = 4.
Exponenci´
aln´ı rovnice jsou rovnice, kde nezn´
am´
a x
∈ R se vyskytuje v exponentu
nˇ
ejak´
e mocniny. Rovnice ˇreˇs´ıme bud’ logaritmov´
an´ım, nebo porovn´
an´ım exponentu pˇri
stejn´
em z´
akladu, ˇ
casto aˇ
z po ´
uprav´
ach.
Pˇ
r´ıklad 4.13 ˇ
Reˇ
ste v R exponenci´
aln´ı rovnice.
a) (
4
25
)
x+3
· (
125
8
)
4x
−1
=
5
2
b) 3
· 2
x + 23−x = 10
c) 9x + 2
· 3
x − 3 = 0
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Uprav´ıme vˇ
se na mocniny o z´
akladu a =
5
2 .
(
5
2
)
−2(x+3)
· (
5
2
)
3(4x
−1)
=
5
2
⇒
−2x − 6 + 12x − 3 = 1
⇒
10x = 10
⇒
x = 1
b) Poloˇ
z´ıme 2x = y, pak 3y + 8
·
1
y = 10, neboli 3y
2 − 10y + 8 = 0.
Koˇ
reny
y1,2 =
10
±
√
100
− 96
2
=
* 2
4
3
Matematick´
y semin´
aˇ
r
26
Pak je 2x1 = 2
⇒ x1 = 1.
Druh´
y koˇ
ren 2x2 =
4
3 a logaritmov´
an´ım x2 = 2
− log2 3.
c) Poloˇ
z´ıme 3x = y, pak y2 + 2y
− 3 = 0 ⇒ (y − 1)(y + 3) = 0.