Matematický seminář - doc. E. Kolářová

upravy soustavy rovnic, tj. takov´

e

´

upravy, jimiˇ

z se nemˇ

en´ı ˇreˇsen´ı soustavy. V takov´

em pˇr´ıpadˇ

e nen´ı nutn´

a zkouˇska, ale je

vhodn´

a pro kontrolu.

Pˇ

rehled ekvivalentn´ıch ´

uprav soustavy rovnic:

Nahrazen´ı libovoln´

e rovnice soustavy rovnic´ı, kter´

a je s n´ı ekvivalentn´ı, tj.m´

a tot´

eˇ

z ˇreˇsen´ı.

Nahrazen´ı libovoln´

e rovnice soustavy souˇ

ctem t´

eto rovnice a libovoln´

e jin´

e rovnice sous-

tavy.

Dosazen´ı nezn´

am´

e nebo v´

yrazu s nezn´

amou z jedn´

e rovnice soustavy do jin´

e jej´ı rovnice.

My se budeme zab´

yvat soustavou line´

arn´ıch rovnic. Z´

akladn´ım typem metod ˇreˇsen´ı

line´

arn´ıch algebraick´

ych rovnic jsou eliminaˇ

cn´ı metody, jejichˇ

z podstatou je postupn´

a

eliminace (vyluˇ

cov´

an´ı) nezn´

am´

ych z rovnic soustavy. Podle zp˚

usobu, jimˇ

z eliminujeme

jednu nezn´

amou, rozliˇsujeme nˇ

ekolik metod ˇreˇsen´ı:

Metoda sˇ

c´ıtac´ı - rovnice soustavy n´

asob´ıme ˇ

c´ısly zvolen´

ymi tak, aby se po seˇ

cten´ı

vyn´

asoben´

ych rovnic jedna nezn´

am´

a vylouˇ

cila.

Pˇ

r´ıklad 5.1 Metodou sˇ

c´ıtac´ı ˇ

reˇ

ste v R

× R soustavu rovnic.

2x

− y = 1

x + 3y = 11.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Prvn´ı rovnici vyn´

asob´ıme tˇ

remi, dost´

avame rovnici 6x

− 3y = 31. Z´ıskali jsme t´ımto

zp˚

usobem ekvivalentn´ı soustavu

6x

− 3y = 3

x + 3y = 11.

Rovnice ted’ seˇ

cteme, t´ım vylouˇ

c´ıme nezn´

amou y a pro nezn´

amou x dost´

av´

ame rovnici

7x = 14, x = 2.

Obdobnˇ

e lze vylouˇ

cit nezn´

amou x vyn´

asoben´ım druh´

e rovnice minus dvˇ

ema a seˇ

cten´ım s

prvn´ı rovnic´ı. Dost´

av´

ame rovnici

−7y = −21, y = 3.

ˇ

Reˇ

sen´ım soustavy je uspoˇ

r´

adan´

a dvojice [x, y], x = 2, y = 3.

Matematick´

y semin´

aˇ

r

30

Metoda dosazovac´ı - vyj´

adˇr´ıme jednu nezn´

amou z jedn´

e rovnice soustavy a dosad´ıme

ji do dalˇs´ıch rovnic, ˇ