Matematický seminář - doc. E. Kolářová

3x

− 1 − 10 + 12x ≤ 32 + 6x

3x + 12x

− 6x ≤ 32 + 1 + 10

9x

≤ 43

x

≤

43

9

∧ x ∈ N

Hled´

ame ˇ

reˇ

sen´ı v oboru pˇ

rirozen´

ych ˇ

c´ısel. Dostaneme

x

∈ {1, 2, 3, 4}

Pˇ

r´ıklad 6.3 ˇ

Reˇ

ste v R nerovnici v pod´ılov´

em tvaru

12

− x

x

− 4

> 0.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Matematick´

y semin´

aˇ

r

36

12

− x

x

− 4

> 0

⇔ [(12 − x) > 0 ∧ (x − 4) > 0] ∨ [(12 − x) < 0 ∧ (x − 4) < 0]

[x < 12

∧ x > 4] ∨ [x > 12 ∧ x < 4]

4 < x < 12

∨ x ∈ { }

⇒

x

∈ (4; 12)

Jin´

y zp˚

usob ˇ

reˇ

sen´

ı:

Najdeme tzv. nulov´

e body ˇ

citatele a jmenovatele - to jsou body, ve kter´

ych je polynom

v ˇ

citateli nebo ve jmenovateli rovn´

y nule - a v intervalech mezi nulov´

ymi body zjist´ıme

znam´

enko ˇ

citatele, jmenovatele a nakonec cel´

eho zlomku.

(

−∞; 4) (4; 12) (12; ∞)

12

− x

+

+

-

x

− 4

-

+

+

pod´ıl

-

+

-

M´

ame ostrou nerovnost, takˇ

ze ˇ

reˇ

sen´ım naˇ

s´ı nerovnice je x

∈ (4; 12).

Pˇ

r´ıklad 6.4 ˇ

Reˇ

ste v R nerovnici

2

− x

4 + x

≤ 1.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Uprav´ıme na pod´ılov´

y tvar:

2

− x − 4 − x

4 + x

≤ 0

⇔

−2(x + 1)

4 + x

≤ 0

⇔

x + 1

4 + x

≥ 0.

M˚

uˇ

zeme vyuˇ

z´ıt nulov´

ych bod˚

u ˇ

citatele a jmenovatele, pak dostaneme ˇ

reˇ

sen´ı

x

∈ (−∞; −4) ∪ h−1; ∞)

Danou rovnici m˚

uˇ

zeme ˇ

reˇ

sit i jinak:

2

− x

4 + x

≤ 1 \ · (4 + x)

a) 4 + x > 0

⇒ 2 − x ≤ 4 + x ⇒ −2 ≤ 2x ⇒ x ≥ −1

Dostali jsme, ˇ

ze

(x >

−4 ∧ x ≥ −1) ⇒ x ≥ −1.

b) 4 + x < 0

⇒ 2 − x ≥ 4 + x ⇒ x ≤ −1

Dostali jsme, ˇ

ze

(x <

−4 ∧ x ≤ −1) ⇒ x < −4.