Matematický seminář - doc. E. Kolářová

elen´ım prvn´ı rovnice ˇ

c´ıslem 9, t´ım bychom ovˇ

sem dostali v

prvn´ı rovnici desetinn´

a ˇ

c´ısla. Radˇ

eji od prvn´ı rovnice odeˇ

cteme druhou, ˇ

c´ımˇ

z dostaneme

soustavu rovnic:

x

− y − 5z = 0

(1)

8x + 6y + 3z = 15

(2)

3x

− 7y + 4z = 27

(3)

D´

ale v z´ıskan´

e soustavˇ

e od druh´

e rovnice odeˇ

cteme 8-kr´

at prvn´ı, a od tˇ

ret´ı rovnice odeˇ

cteme

3-kr´

at prvn´ı. T´ım eliminujeme nezn´

amou x v tˇ

echto rovnic´ıch a dost´

av´

ame tuto ekviva-

lentn´ı soustavu:

x

− y − 5z = 0

(1)

14y + 43z = 15

(2)

−4y + 19z = 27

(3)

Nyn´ı druhou rovnici dˇ

el´ıme ˇ

ctrn´

acti, abychom u nezn´

am´

e y z´ıskali koeficient 1. D´

ale k

tˇ

ret´ı rovnici pˇ

riˇ

cteme 4-kr´

at druhou, ˇ

c´ımˇ

z v n´ı eliminujeme nezn´

amou y. T´ım pˇ

rech´

az´ıme

k t´

eto soustavˇ

e rovnic:

x

− y − 5z = 0

(1)

y +

43

14

z =

43

15

(2)

219z = 219

(3)

Tato soustava m´

a troj´

uheln´ıkov´

y tvar a jej´ı ˇ

reˇ

sen´ı urˇ

c´ıme snadno takto: Z tˇ

ret´ı rovnice

po dˇ

elen´ı ˇ

c´ıslem 219 dost´

av´

ame: z = 1. Dosazen´ım do druh´

e rovnice vypoˇ

cteme

y =

1

14

(15

− 43) = −2

a po dosazen´ı do prvn´ı rovnice vych´

az´ı x =

−2 + 5 = 3.

Dostali jsme ˇ

reˇ

sen´ı x = 3, y =

−2, z = 1.

Pˇ

r´ıklad 5.5 V R3 ˇ

reˇ

ste soustavy rovnic:

a) x + 2y + 3z = 7

b) x + 2y + 3z = 1

c) x + 2y + 3z = 1

3x

− y + z = 6

x + 3y + 5z = 2

2x + 4y + 6z = 2

x + y + z = 4

2x + 5y + 8z = 12

x

− y + z = 4

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Soustavy budeme ˇ

reˇ

sit Gaussovou eliminaˇ

cn´ı metodou.

a) x + 2y + 3z = 7

x + 2y + 3z = 7

x + 2y + 3z = 7

3x

− y + z = 6

⇒

−7y − 8z = −15

⇒

y + 2z = 3