Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Tedy x <
−4 ∨ x ≥ −1 ˇcili x ∈ (−∞; −4) ∪ h−1; ∞).
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
37
6.3
Kvadratick´
a nerovnice
Pˇ
r´ıklad 6.5 ˇ
Reˇ
ste v R nerovnici x2
− 4x − 5 ≥ 0.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
x2
− 4x − 5 ≥ 0 ⇔ (x − 5)(x + 1) ≥ 0
⇔ [(x − 5) ≥ 0 ∧ (x + 1) ≥ 0] ∨ [(x − 5) ≤ 0 ∧ (x + 1) ≤ 0]
x
≥ 5 ∨ x ≤ −1 ⇒ x ∈ (−∞; −1i ∪ h5; ∞)
´
Ulohu m˚
uˇ
zeme ˇ
reˇ
sit i pomoc´ı nulov´
ych bod˚
u
polynomu nebo tak´
e graficky:
y = x2
− 4x − 5 je rovnice paraboly,
jej´ı vrcholov´
y tvar je y + 9 = (x
− 2)
2,
vrchol je V [2;
−9], pr˚
useˇ
c´ıky s osou x :
P1[
−1; 0]
P2[5; 0],
protoˇ
ze (x
− 2)
2 = 9
⇔ x − 2 = ±3
⇒ x1 = 5, x2 = −1.
Naˇ
crtneme graf.
Vid´ıme, ˇ
ze y
≥ 0 pro x ∈ (−∞; −1) ∪ h5; ∞).
2
5
–1
–9
0
V
y
x
Pˇ
r´
ıklad 6.6 ˇ
Reˇ
ste v R nerovnici
x + 3
x
− 1
+
x + 4
x
− 4
≥ 2.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Pˇ
revedeme na pod´ılov´
y tvar
(x + 3)(x
− 4) + (x + 4)(x − 1) − 2(x − 1)(x − 4)
(x
− 1)(x − 4)
≥ 0 a po
´
upravˇ
e ˇ
citatele
12(x
− 2)
(x
− 1)(x − 4)
≥ 0.
Pomoc´ı nulov´
ych bod˚
u:
(
−∞; 1) (1; 2i (2; 4) (4; ∞)
x
− 1
-
+
+
+
x
− 2
-
-
+
+
x
− 4
-
-
-
+
zlomek
-
+
-
+
x
∈ (1; 2i ∪ (4; ∞)
Matematick´
y semin´
aˇ
r
38
6.4
Nerovnice s absolutn´ımi hodnotami
Pˇ
r´ıklad 6.7 ˇ
Reˇ
ste v R nerovnici
|12 − x| > 15 − |x + 3|.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Pomoc´ı nulov´
ych bod˚
u v´
yraz˚
u v absolutn´ıch hodnot´
ach rozdˇ
el´ıme R na intervaly, ve kter´
ych
nerovnice ˇ
reˇ
s´ıme.
Pro x
∈ (−∞; −3i : 12 − x > 15 + (x + 3) ⇒ x < −3.
|
{z
}
x <
−3