Matematický seminář - doc. E. Kolářová

c´ımˇ

z se jedna nezn´

am´

a ze soustavy vylouˇ

c´ı.

Pˇ

r´ıklad 5.2 Metodou dosazovac´ı ˇ

reˇ

ste v R

× R soustavu rovnic.

2x

− y = 5

3x + 4y =

−9.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Z prvn´ı rovnice vyj´

adˇ

r´ıme y = 2x

− 5, a dosad´ıme do druh´e rovnice. Dost´av´ame

3x + 4(2x

− 5) = −9, 11x = −9 + 20, x = 1.

Potom y = 2x

− 5 = 2 − 5 = −3. Dostali jsme ˇreˇsen´ı x = 1, y = −3.

Metodu sˇ

c´ıtac´ı a dosazovac´ı m˚

uˇ

zeme tak´

e kombinovat.

Pˇ

r´ıklad 5.3 V R

× R ˇreˇste soustavy rovnic:

a) x + y = 4

b) 14x + 4y = 13

c) 2x

− 3y = 5

2x + 3y = 7

7x + 2y = 12

4x

− 6y = 10

ˇ

Reˇ

sen´ı:

a) x + y = 4 /

· (−3)

⇒

−3x − 3y = −12

⇒

x = 5, y =

−1

2x + 3y = 7

2x + 3y = 7

b) 14x + 4y = 13

⇒

14x + 4y = 13

⇒

soustava nem´

a

7x + 2y = 12 /

· 2

14x + 4y = 24

ˇ

reˇ

sen´ı

c) 2x

− 3y = 5 / · 2

⇒

4x

− 6y = 10

4x

− 6y = 10

4x

− 6y = 10

⇒

soustava m´

a nekoneˇ

cnˇ

e mnoho ˇ

reˇ

sen´ı

x = t, y =

1
3 (2t − 5), t ∈

R

5.2

Gaussova eliminaˇ

cn´ı metoda

Pˇri ˇreˇsen´ı v´ıce neˇ

z dvou rovnic je nejv´

yhodnˇ

ejˇs´ı pouˇ

zit´ı Gaussovy eliminaˇ

cn´ı metody,

kter´

a spoˇ

c´ıv´

a v postupn´

em pˇreveden´ı dan´

e soustavy rovnic ekvivalentn´ımi ´

upravami na

tzv. troj´

uheln´ıkov´

y tvar.

Pˇ

r´ıklad 5.4 Uˇ

zit´ım Gaussovy eliminaˇ

cn´ı metody ˇ

reˇ

ste v R

× R × R soustavu rovnic.

9x + 5y

− 2z = 15

(1)

8x + 6y + 3z = 15

(2)

3x

− 7y + 4z = 27

(3)

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

31

Nejprve soustavu uprav´ıme tak aby v prvn´ı rovnici koeficient u nezn´

am´

e x byl 1. Bylo

by moˇ

zn´

e toho dos´

ahnout dˇ