Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
−1 ±
√
1 + 24
−4
⇒ m = −1 ∨ m =
3
2
.
Druh´
y koˇ
ren x =
−3.
Pˇ
r´ıklad 4.9 Pro kter´
e hodnoty parametru t m´
a kvadratick´
a rovnice 2x2 + tx + 2 = 0
re´
aln´
e r˚
uzn´
e koˇ
reny?
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Re´
aln´
e r˚
uzn´
e koˇ
reny
⇒ D = t
2 − 16 > 0 ⇒ t2 > 16 ⇒ |t| > 4 ⇒
t
∈ (−∞, −4) ∪ (4, ∞)
Algebraick´
e rovnice vyˇ
sˇ
s´ıho stupnˇ
e ˇreˇs´ıme pˇrevodem na souˇ
cinov´
y tvar, nˇ
ekdy jako
rovnice binomick´
e.
Pˇ
r´ıklad 4.10 V oboru re´
aln´
ych ˇ
c´ısel ˇ
reˇ
ste rovnice:
a) x4 = 16
b) x4 + 2x2 + 1 = 0
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) x4
− 16 = 0, uprav´ıme na souˇcinov´y tvar (x − 2)(x + 2)(x
2 + 4) = 0 ⇒ re´aln´e koˇreny
jsou x1 = 2, x2 =
−2
b) x4 + 2x2 + 1 = 0
⇒ (x
2 + 1)2 = 0 ⇒ x ∈ { }
Iracion´
aln´ı rovnice obsahuj´ı odmocniny z v´
yraz˚
u s nezn´
amou. Odmocniny odstraˇ
nujeme
neekvivalentn´ı ´
upravou - umocnˇ
en´ım, proto je nutnˇ
e souˇ
cast´ı ˇreˇsen´ı zkouˇska.
Pˇ
r´ıklad 4.11 V oboru re´
aln´
ych ˇ
c´ısel ˇ
reˇ
ste iracion´
aln´ı rovnici:
a) x
− 4 =
√
2x
b)
√
x
− 7 −
√
5
− x = 3
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) ˇ
Reˇ
s´ıme za pˇ
redpokladu
x
− 4 ≥ 0 ∧ 2x ≥ 0
⇒
x
≥ 4
Umocnˇ
en´ım dostaneme
(x
− 4)
2 = 2x ⇒ x2 − 10x + 16 = 0 ⇒ x1,2 =
10
±
√
100
− 64
2
=
10
± 6
2
Podm´ınce ˇ
reˇ
sitelnosti vyhovuje pouze x = 8.
Umocnˇ
en´ı je neekvivalentn´ı operace, provedeme zkouˇ
sku:
L(8) = 8
− 4 = 4
P (8) =
√
16 = 4
⇒ x = 8
b) ˇ
Reˇ
s´ıme za pˇ
redpokladu x
− 7 ≥ 0 ∧ 5 − x ≥ 0 ⇒ x ∈ {}
⇒ rovnice nem´a ˇreˇsen´ı.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
25
Logaritmick´
e rovnice jsou rovnice, v nichˇ
z se vyskytuj´ı logaritmy v´