Matematický seminář - doc. E. Kolářová

3. N´

asoben´ı nenulovou konstantou nebo funkc´ı h(x) definovanou v

D :

a) h(x) > 0 pro x

∈ D : f(x) < g(x) ⇔ f(x)h(x) < g(x)h(x)

b) h(x) < 0 pro x

∈ D : f(x) < g(x) ⇔ f(x)h(x) > g(x)h(x)

4. Umocnˇ

en´ı pro pˇr´ıpad nez´

aporn´

ych stran nerovnice:

0

≤ f(x) < g(x) ⇔ f

n(x) < gn(x), n ∈ N

5. Odmocnˇ

en´ı pro pˇr´ıpad nez´

aporn´

ych stran nerovnice:

0

≤ f(x) < g(x) ⇔ n

pf(x) < n

pg(x), n ∈ N

Pokud pouˇ

z´ıv´

ame pˇri ˇreˇsen´ı nerovnic ekvivalentn´ı ´

upravy, nen´ı potˇreba prov´

adˇ

et zkouˇsku,

snad jen pro vylouˇ

cen´ı vlastn´ıch chyb.

Klasifikace nerovnic

Element´

arn´ı nerovnice s nezn´

amou x m˚

uˇ

zeme rozdˇ

elit (podobnˇ

e jako rovnice) podle toho,

v jak´

e pozici se v dan´

e nerovnici nach´

az´ı nezn´

am´

a. Rozliˇsujeme nerovnice line´

arn´ı a

kvadratick´

e, nerovnice s absolutn´ı hodnotou, exponenci´

aln´ı a logaritmick´

e nerovnice, ira-

cion´

aln´ı nerovnice.

Postup ˇreˇsen´ı pro jednotliv´

e typy nerovnic uk´

aˇ

zeme na pˇr´ıkladech.

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

35

6.2

Line´

arn´ı nerovnice

Pˇ

r´ıklad 6.1 ˇ

Reˇ

ste v R nerovnici

2x

− 17

4

−

8

− x

2

− 2 ≤ x − 4 +

x

8

.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Odstran´ıme zlomky a uprav´ıme rozn´

asoben´ım.

2(2x

− 17) − 4(8 − x) − 16 ≤ 8(x − 4) + x

4x

− 34 − 32 + 4x − 16 ≤ 8x − 32 + x

4x + 4x

− 8x − x ≤ −32 + 34 + 32 + 16

−x ≤ 50 \ · (−1)

x

≥ −50

⇒

x

∈ h−50; ∞)

Pˇ

r´ıklad 6.2 ˇ

Reˇ

ste v N nerovnici

3x

− 1

4

−

5

− 6x

2

− 2 ≤ 8 +

3x

2

.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Odstran´ıme zlomky a uprav´ıme rozn´

asoben´ım, stejnˇ

e jako kdyˇ

z hled´

ame ˇ

reˇ

sen´ı nerovnice

v R.

3x

− 1

4

−

5

− 6x

2

− 2 ≤ 8 +

3x

2

\ · 4

3x

− 1 − 2(5 − 6x) ≤ 32 + 2 · 3x