bpc-mod_01-Zakladni-pojmy_Stavovy-popis_Linearizace

ω(0)

Modelování a simulace

Úvod - str. 28/48

Pˇríklad

■

matematické kyvadlo je možné pro malé výchylky popsat
modelem

"

˙α

˙ω

#

=

"

0

1

−g/l 0

# "

α
ω

#

■

Laplace ˚uv obraz stavových veliˇcin dostaneme pomocí

X(p) = (pI

− A)−

1BU(p) + (pI − A)−1x(0); A−1 =

1

det A

adjA

α(p)

ω(p)

 =

p

0

0

p

 −

0

1

−g/l 0

−1 

α(0)

ω(0)

 =

p

−1

g/l

p

−1 

α(0)

ω(0)

=

1

p2+g/l

p

1

−g/l p

α(0)

ω(0)

 =

p

p2+g/l

1

p2+g/l

−g/l

p2+g/l

s

p2+g/l

α(0)

ω(0)

Modelování a simulace

Úvod - str. 29/48

Pˇríklad

■

Pokud budeme uvažovat poˇcáteˇcní podmínku
α(0)

6= 0, ω(0) = 0 dostaneme ˇrešení

"

α(p)
ω(p)

#

=

"

p

p2+g/l

1

p2+g/l

−g/l

p2+g/l

s

p2+g/l

# "

α(0)
ω(0)

#

=

"

p

p2+g/l α(0)

−g/l

p2+g/l α(0)

#

■

pomocí inverzní Laplaceovy trasnformace dostaneme ˇrešení
v ˇcasové oblasti

"

α(t)
ω(t)

#

= L−1

("

p

p2+g/l α(0)

−g/l

p2+g/l α(0)

#)

=

"

α(0) cos(t

p

g/l)

−α(0)

p

g/l sin(t

p

g/l)

#

Modelování a simulace

Úvod - str. 29/48

Pˇríklad

■

Pokud budeme uvažovat poˇcáteˇcní podmínku
α(0)

6= 0, ω(0) = 0 dostaneme ˇrešení

"

α(p)
ω(p)

#

=

"

p

p2+g/l

1

p2+g/l

−g/l

p2+g/l

s

p2+g/l

# "

α(0)
ω(0)

#

=

"

p

p2+g/l α(0)

−g/l

p2+g/l α(0)

#

■

pomocí inverzní Laplaceovy trasnformace dostaneme ˇrešení
v ˇcasové oblasti

"

α(t)
ω(t)

#

= L−1

("

p

p2+g/l α(0)

−g/l

p2+g/l α(0)

#)

=

"

α(0) cos(t

p

g/l)

−α(0)

p

g/l sin(t

p

g/l)

#

Obsah a org.

Základní pojmy

Stavový popis
Vn ˇejší popis
Stav
Nelineární
LTV
LTI
Vyp.nel.
Výpoˇcet LTI
LTI Lapla
Pˇríklad
Vnitˇrní

→ vnˇejší

Pˇríklad
Snižování
Forma ˇrid’.
Forma pozor.
Paralelní
Seriové

Linearizace

Modelování a simulace

Úvod - str. 30/48

Vnitˇrní

→ vnˇejší

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

pX(p) = AX(p) + BU(p)

Y(p) = CX(p) + DU(p)

Laplaceova transformace

Y(p) =

C(pI

− A)−

1B + D

U(p) =

=

1

det(pI

− A)

C adj(pI

− A)B + D

|

{z

}

F(p)

U(p)

F (p) =

F11 (p) F12 (p) . . . F1m (p)
F21 (p) F22 (p) . . . F2m (p)

..

.

..

.

. ..

..

.

Fr1 (p) Fr2 (p) . . . Frm (p)