Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
𝑓(𝑘)𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑘
𝑁−1
𝑘=0
= ∑
1𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑘
𝑁−1
𝑘=0
= ∑
(𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
)
𝑘
𝑁−1
𝑘=0
=
1−𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑁
1−𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
=
f(t)
s(t)
IDP
T
s( )
kT
s
s
t
g(t)
0
w/p
0
f(k)
0
+1
1 2
+1
1
k
BSAS – sbírka příkladů
119
=
1−𝑒−𝑗𝑚2𝜋
1−𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
.
d)
Hodnota spektra pro
𝑚 = 0 je neurčitý výraz typu 0/0 a proto:
𝐹(0) = lim
𝑚→0
𝐹(𝑚) = lim
𝑚→0
1−𝑒−𝑗𝑚2𝜋
1−𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
= lim
𝑚→0
𝑗2𝜋𝑒−𝑗𝑚2𝜋
𝑗
2𝜋
𝑁
𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
= 𝑁 lim
𝑚→0
𝑒−𝑗𝑚2𝜋
𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
= 𝑁. Tuto hodnotu
lze získat také přímým dosazením 𝑚 = 0 do definičního vztahu: 𝐹(0) =
∑
𝑓(𝑘)𝑒
−𝑗0
2𝜋
𝑁
𝑘
𝑁−1
𝑘=0
= ∑
1
𝑁−1
𝑘=0
= 𝑁. Pro ostatní 𝑚 = 1,2, . . . 𝑁 − 1 jsou hodnoty spektra
nulové neboť čitatel 𝐹(𝑚) je roven 1 − 𝑒−𝑗𝑚2𝜋 = 1 − 1 = 0 a jmenovatel je od nuly
různý. Pro spektrum tedy platí:
𝐹(𝑚) = {
𝑁
𝑚 = 0
0
𝑚 = 1,2, . . . 𝑁 − 1
Příklad 5.3.03: Je dán diskrétní signál 𝑓(𝑘) = ∑
𝛿(𝑘 − 𝑖)
𝑁−1
𝑖=0
cos
2𝜋
𝑁
𝑘, 𝑘 ∈ (−∞, +∞), 𝑁 = 8.
a) načrtněte tento signál pro
𝑘 = −2, −1,0, , . . .11,12,13.
b) určete, zda je periodický.
c) vypočtěte spektrum tohoto signálu (užijte Eulerovy vztahy). Pomůcka ∑
𝑎𝑘
𝑁−1
𝑘=0
=
1−𝑎𝑁
1−𝑎
.
d) načrtněte amplitudové spektrum
𝑚 = −2, −1,0, , . . .11,12,13.
Řešení 5.3.03: a)
b)
Signál není periodický
c)
𝑓(𝑘) = ∑
𝛿(𝑘 − 𝑖)
1
2
(𝑒
𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘 + 𝑒−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘)
𝑁−1
𝑖=0
=
1
2
𝑓1(𝑘) +
1
2
𝑓2(𝑘), kde
𝑓1(𝑘) = 𝑒
+𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘 ∑
𝛿(𝑘 − 𝑖)
𝑁−1
𝑖=0
= {𝑒
+𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘
𝑘 = 0,1, . . . 𝑁 − 1
0
𝑘 ≠ 0,1, . . . 𝑁 − 1