Sbírka příkladů
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 13
k
F(m)
4
f(k)
k
+1
-1
0
1
2
3 4 5
6
7
8
9
-1
BSAS – sbírka příkladů
121
lim
𝑚→2
1
2
1−𝑒𝑗(2−𝑚)2𝜋
1−𝑒
𝑗(2−𝑚)
2𝜋
𝑁
=
1
2
lim
𝑚→2
−𝑗2𝜋𝑒𝑗(2−𝑚)2𝜋
−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑒
𝑗(2−𝑚)
2𝜋
𝑁
=
𝑁
2
.Druhý výraz je roven nule
∀𝑚 ≠ 𝑁 − 2, neboť
čitatel je roven 0 a jmenovatel je různý od nuly. Pro 𝑚 = 𝑁 − 2 je druhý výraz zlomek typu
0/0, a proto:
lim
𝑚→𝑁−2
1
2
1−𝑒−𝑗(2+𝑚)2𝜋
1−𝑒
−𝑗(2+𝑚)
2𝜋
𝑁
=
1
2
lim
𝑚→𝑁−2
+𝑗2𝜋𝑒𝑗(2+𝑚)2𝜋
+𝑗
2𝜋
𝑁
𝑒
𝑗(2+𝑚)
2𝜋
𝑁
=
𝑁
2
.
Pro spektrum tedy platí: 𝐹(𝑚) = {
𝑁/2
𝑚 = 2, 𝑚 = 𝑁 − 2
0
𝑚 ≠ 2, 𝑚 ≠ 𝑁 − 2
⇒ 𝐹(𝑚) =
{
4 𝑚 = 2, 𝑚 = 6
0 𝑚 ≠ 2, 𝑚 ≠ 6
c)
Příklad 5.3.05: Je dán diskrétní signál 𝑓(𝑘) = ∑
𝛿(𝑘 − 𝑖)
𝑁−1
𝑖=0
𝑁 > 0.
a) Rozhodněte, zda je signál periodický a načrtněte ho. Popište a ocejchujte osy.
b) Vypočtěte jeho spektrum. (Pomůcka: ∑
𝑞𝑘
𝑁−1
𝑘=0
=
1−𝑞𝑁
1−𝑞
)
c) Načrtněte amplitudové spektrum.
Řešení 5.3.05: a)
Signál není periodický.
b)
Pro spektrum signálu platí DFT
𝐹(𝑚) = ∑ 𝑓(𝑘)𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑘
𝑁−1
𝑘=0
= ∑ 1𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑘
𝑁−1
𝑘=0
= ∑ (𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
)
𝑘
𝑁−1
𝑘=0
=
1 − 𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑁
1 − 𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
=
=
1 − 𝑒−𝑗𝑚2𝜋
1 − 𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑚 = 0,1, . . . 𝑁 − 1
c)
Hodnota spektra pro
𝑚 = 0 je neurčitý výraz typu 0/0 a proto:
𝐹(0) = lim
𝑚→0
𝐹(𝑚) = lim
𝑚→0
1 − 𝑒−𝑗𝑚2𝜋
1 − 𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
= lim
𝑚→0
𝑗2𝜋𝑒−𝑗𝑚2𝜋
𝑗
2𝜋
𝑁
𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
= 𝑁 lim
𝑚→0
𝑒−𝑗𝑚2𝜋
𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
= 𝑁
Tuto hodnotu lze získat také přímým dosazením 𝑚 = 0 do definičního vztahu: