M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

plyne, že grafy funkcí f a f −1 jsou symetrické vzhledem k přímce y = x
(to znamená, že body A = [a, b], B = [b, a] leží na přímce kolmé k přímce y = x

———————————————————————————————————

26

Reálná funkce jedné reálné proměnné

a mají od této přímky stejnou vzdálenost). Pro námi zvolenou funkci f (x) = x

3 +2

například dostaneme

x

-3 0 3 6

f (x)

1

2 3 4

x

1

2 3 4

f −1(x)

-3 0 3 6

Nyní se budeme zabývat podmínkou, za které existuje funkce f −1 inverzní

k funkci f . Protože f −1 je opět funkce, odpovídá každému y ∈ H(f ) právě jedno
takové x ∈ D(f ), že platí f (x) = y. Říkáme pak, že funkce f je prostá. Známe-li
graf funkce f, pak tuto vlastnost jednoduše ověříme tím, že nejenom každá přímka
rovnoběžná s osou y protne graf nejvýše v jednom bodě, ale také libovolná přímka
rovnoběžná s osou x protne graf nejvýše v jednom bodě. Naše úvahy lze shrnout
do následující definice:

Definice 2.6.1:

Je-li f prostá funkce v D(f ), pak k ní existuje inverzní

funkce f −1 definovaná na H(f ), přičemž platí

[x, y] ∈ Gr f

⇐⇒ [y, x] ∈ Gr f −1.

4

Pokud tedy k funkci f existuje v D(f ) inverzní funkce f −1, pak platí:

a) D(f −1) = H(f ),

H(f −1) = D(f )

b)

y = f (f −1(y))

pro každé y ∈ H(f ),

x = f −1(f (x))

pro každé x ∈ D(f ).

Obrázek 2.9:

Poznámka: Je-li funkce g definována na množině M ⊂ D(f ) a přitom platí

g(x) = f (x) pro každé x ∈ M , pak říkáme, že funkce g je restrikcí (zúžením) funkce
f na množinu M . Píšeme g = f |M .

———————————————————————————————————