M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

√

−D

2a

a opět platí ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

O správnosti uvedených rozkladů se můžete přesvědčit roznásobením pra-
vých stran rozkladů a jejich úpravou na tvar ax2 + bx + c. Ve třetím případě
však výrazy x − x1, x − x2 nejsou reálné polynomy, ale jejich součin je již reálný
polynom. Proto tyto

polynomy 2. stupně se záporným diskriminantem již nebudeme dále rozkládat.

Výše uvedené varianty si ukážeme na přibližných grafech reálných polynomů.

-

x

6

y

3
4

−1

2

2

−25

8

a)

-

x

6

y

2
3

4

b)

-

x

6

y

2

7
3

c)

kde

a) y = 2x2 − 3x − 2 = 2(x + 1

2 )(x − 2),

b) y = 9x2 − 12x + 4 = 9(x − 2

3 )

2,

c) y = x2 − 4x + 7 = (x − 2)2 + 3 = (x − (2 + i

√

3))(x − (2 − i

√

3)).

Vidíte, že v reálných kořenech graf funkce f : y = ax2 + bx + c protíná nebo
se dotýká osy x a funkční hodnoty v kořenech jsou tedy nulové. Rovněž funkční
hodnoty v komplexních kořenech jsou nulové, jak se můžete přesvědčit dosazením
do funkčního předpisu, graf funkce v tomto případě neprotíná ani se nedotýká osy
x. Uvedené rozklady nazýváme rozklady na součin kořenových činitelů. Přejdeme
k přesnějšímu vyjádření použitých pojmů.

———————————————————————————————————

2.7 Polynomy a racionální funkce

31

Definice 2.7.1:

• Je-li Pn polynom stupně n, n > 0, pak číslo x0 ∈ R (případně x0 ∈ C)

nazveme kořenem (nebo též nulovým bodem), je-li splněno Pn(x0) = 0.
Výraz x − x0 nazýváme kořenovým činitelem.

• Číslo x0 nazveme k–násobným kořenem polynomu Pn stupně n > 0,

jestliže platí Pn(x) = (x − x0)k · Qn−k(x), přičemž Qn−k(x0) 6= 0.

4