M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

2.7 Polynomy a racionální funkce

33

Příklad 2.7.4: Určete znaménko polynomu

P5(x) = (x − 1)2(x + 2)(2x2 + x + 1).

Řešení: Reálné kořeny polynomu jsou x1 = 1 (dvojnásobný, znaménko se

nemění), x2 = −2 (jednonásobný, znaménko se mění). Například P5(0) = 2 > 0
určí znaménko polynomu v intervalu obsahujícím bod 0.

-

`a

−2

`a

1

−

+

+

znam P5(x)

Cvičení 2.7.1: Určete rozklad v reálném oboru a znaménko polynomu:
a) f (x) = 3x3 − 8x2 + 7x − 2, b) g(x) = x3 + 2x2 + 2x + 4,
c) h(x) = 8x4 + 2x2 − 1, d) k(x) = 6x4 + 7x2 + 2.

2.7.2

Racionální funkce, rozklad na parciální zlomky.

Definice 2.7.2: Racionální funkcí nazýváme podíl dvou nenulových polynomů
Pm/Qn stupňů m, n. Pokud m < n, jde o tzv. ryzí funkci, jestliže m ≥ n, jde o
tzv. neryzí racionální funkci.

4

Platí:

1. Každá neryzí racionální funkce je buď polynom nebo se dá vyjádřit

jako součet polynomu a ryzí racionální funkce.

2. Každou ryzí racionální funkci Pm/Qn lze rozložit na součet parciálních

zlomků.
Jestliže se v rozkladu polynomu Qn vyskytuje polynom (ex + d)k, kde
e 6= 0, pak mu v rozkladu racionální funkce Pm/Qn odpovídá součet
k parciálních zlomků tvaru

C1

ex + d

+

C2

(ex + d)2

+ · · · +

Ck

(ex + d)k

.

Pokud v rozkladu polynomu Qn je polynom tvaru (ax2 + bx + c)l, kde
a 6= 0, diskriminant D < 0, pak mu v rozkladu odpovídá součet l par-
ciálních zlomků:

A1x + B1

ax2 + bx + c

+

A2x + B2

(ax2 + bx + c)2

+ · · · +

Alx + Bl

(ax2 + bx + c)l

.

———————————————————————————————————

34

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Příklad 2.7.5: Rozložte racionální funkci

f (x) =

2x4 − 4x2 + 5x + 1