M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

1 = cos2 x + sin2 x,

sin2 x =

1 − cos 2x

2

,

cos2 x =

1 + cos 2x

2

.

———————————————————————————————————

38

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Obrázek 2.12:

Obrázek 2.13:

Spolu s periodicitou funkcí sin, cos jsou často využívány funkční hodnoty v ar-

gumentech 0, π/6, π/4, π/3, π/2, viz následující tabulka a využití jednotkové kruž-
nice (2.12)

x 0

π/6

π/4

π/3

π/2

sin x 0

1/2

√

2/2

√

3/2

1

cos x 1

√

3/2

√

2/2

1/2

0

Příklad 2.8.1: Nakreslete graf funkce f : y = 3 sin (2x + π/3) .

Řešení:

√

1. řešení. Zjistíme si interval, který vnitřní složka g(x) = 2x + π/3 zobrazí

na základní interval periodicity funkce sinus, tj. h0, 2πi, a takové hodnoty nezávisle

———————————————————————————————————

2.8 Elementární funkce

39

proměnné x, pro které funkce g nabývá „dalších význačných hodnotÿ π/2, π, 3π/2.
Dostaneme následující tabulku:

2x + π/3

0

π/2

π

3π/2

2π

x

−π/6 π/12 π/3 7π/12 5π/6

3 sin (2x + π/3)

0

3

0

−3

0

Vidíme, že g : h−π/6, 5π/6i −→ h0, 2πi a funkce f má periodu π. (Obr. 2.13)

√

2. řešení. Vyjdeme z grafu funkce a) x 7−→ sin x v intervalu h0, 2πi (délka jedné

základní periody).

Postupně získáváme grafy (2.14):

• b) sin (x + π/6), posunutí (translace) o −π/6 ve směru osy x,

• c) sin 2(x + π/6), stažení (kontrakce) 1/2–krát vzhledem k ose x,

• d) 3 sin 2(x + π/6), roztažení (dilatace) 3–krát ve směru osy y.

Obrázek 2.14:

√√

Komentář 2.8.1: Funkce tohoto tvaru se vyskytují při studiu tzv. harmonic-

kých kmitů, kde se používá často označení A sin (ωt + ϕ0) a následující terminologie:

ϕ0

počáteční fáze kmitavého pohybu

A

amplituda výchylky

ω

úhlová (kruhová) frekvence