M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

Znaménko racionální funkce

Znaménko racionální funkce f (x) = Pm(x)/Qnx, kde polynomy Pm, Qn nemají
společné kořeny, určíme analogicky jako znaménko polynomu. Stačí si uvědomit,
že na změnu znaménka funkce f budou mít opět vliv pouze reálné kořeny liché
násobnosti čitatele a jmenovatele. Kořeny jmenovatele ovšem nejsou v definičním
oboru funkce f.

Příklad 2.7.6: Určete znaménko racionální funkce

f (x) =

(2x − 1)3(3x + 4)2(2x2 + 1)

(x − 2)(x2 + x + 1)

.

Řešení: Reálné kořeny polynomu jsou x1 = 1/2 (trojnásobný, znaménko se

mění), x2 = −4/3 (dvojnásobný, znaménko se nemění), x3 = 2 (jednonásobný,
znaménko se mění). Například f (0) = 8 > 0 určí znaménko polynomu v intervalu
obsahujícím bod 0.

-

`a

−4

3

`a

1
2

b

2

+

+

−

+

znam f (x)

Cvičení 2.7.2: Určete rozklady racionálních funkcí na parciální zlomky nebo
na součet polynomu a parciálních zlomků:

a)

4 − x3

4x3 + 7x2 − 2x

,

b)

x + 2

x3 − 2x2

,

c)

x3 + 3x − 2

x4 + 3x2 + 4

d)

x5 + 3x4 + 4x3 + 8x2 + 6x + 4

x4 + 2x3 + x2 + 4x + 4

.

O správnosti výsledků se přesvědčte zkouškou (převedením výsledku na společ-
ného jmenovatele).

———————————————————————————————————

36

Reálná funkce jedné reálné proměnné

2.7.3

Testovací úlohy

AUTOTEST 2.7.1: Polynom, racionální funkce, parciální zlomky.

funkce

a

b

c

1.

číslo −1
je kořen polynomu
f (x) = x3 + x2 − x − 1

jednonásobný

dvojnásobný

není kořen

2.

číslo 1
je kořen polynomu
f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1

jednonásobný

dvojnásobný

trojnásobný

3.

x

x2 − 2x + 1

je parciální

není parciální

je ryzí

zlomek

zlomek

rac. funkce

4.

x3

x3 − 3x2 + 3x − 1

je parciální

je ryzí

je neryzí

zlomek

rac. funkce

rac. funkce

5.

x

x4 + 2x2 + 1

je parciální

není parciální