M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

2.8.5

Hyperbolické funkce

V aplikacích se často pužívají hyperbolické funkce, které jsou definovány takto:
∆——————————————————————————————————

1. hyperbolický sinus: sinh x = (ex − e−x)/2,

2. hyperbolický kosinus: cosh x = (ex + e−x)/2,

3. hyperbolický tangens: tgh x = sinh x/ cosh x,

4. hyperbolický kotangens: cotgh x = cosh x/ sinh x,

——————————————————————————————————∆
Jejich název odpovídá tomu, že jejich užitím lze parametrizovat hyperbolu.

hyperbolický sinus: f (x) = sinh x, hyperbolický kosinus: g(x) = cosh x
D(f ) = R, H(f ) = R,

D(g) = R, H(g) = h1, ∞),

lichá,

sudá,

rostoucí,

klesající v (−∞, 0i, rostoucí v h0, ∞),

Grafem funkce hyperbolický kosinus je tzv. řetězovka (tvar ohebného vlákna

zavěšeného ve dvou bodech).

———————————————————————————————————

46

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Obrázek 2.22:

hyperbolický tangens: h(x) = tgh x, hyperbolický kotangens: u(x) = cotgh x
D(h) = R, H(h) = (−1, 1),

D(u) = R − {0}, H(g) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞),

lichá,

lichá,

rostoucí,

klesající v (−∞, 0), klesající v (0, ∞),

Nyní si uvedeme stručný výběr nejzákladnějších vztahů mezi hyperbolickými

funkcemi, které je možno využít například později při integrování funkcí.

cosh2 x1 − sinh

2 x1 = 1

sinh(x1 ± x2) = sinh x1 cosh x2 ± cosh x1 sinh x2

cosh(x1 ± x2) = cosh x1 cosh x2 ± sinh x1 sinh x2

sinh 2x1 = 2 sinh x1 cosh x1,

cosh 2x1 = sinh

2 x1 + cosh2 x1.

Uvedené vztahy si lze ověřit vyjádřením a úpravami odpovídajících vztahů s ex-
ponenciálními funkcemi.

Cvičení 2.8.1: Ověřte platnost vztahu cosh2 x1 − sinh

2 x2 = 1. (Pozor na od-