M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

D(f ) = R, H(f ) = (−π/2, π/2), D(f ) = R, H(f ) = (0, π),
lichá,

ani lichá ani sudá,

rostoucí na D(f )

klesající na D(f )

———————————————————————————————————

42

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Základní funkční hodnoty:

x

0

√

3

3

1

√

3

arctg x

0

π

6

π

4

π

3

arccotg x

π

2

π

3

π

4

π

6

Obrázek 2.17:

Příklad 2.8.2: Je dána funkce f : y = 1 + sin (2x − 7). Určete g−1 k funkci
g = f /M, kde M je maximální („největšíÿ) podmnožina přirozeného definičního
oboru funkce f, v níž existuje k této funkci funkce inverzní.

Řešení: Víme, že inverzní funkcí k funkci sinus je funkce arkussinus, při-

čemž sinus uvažujeme zúžený na interval h−π/2, π/2i. Pro funkci g bu-
deme proto požadovat splnění nerovnice −π/2 ≤ 2x − 7 ≤ π/2, tj.
7/2 − π/4 ≤ x ≤ 7/2 + π/4. V tomto intervalu je funkce ryze monotónní a platí
f : h7/2 − π/4, 7/2 + π/4i → h0, 2i. Dále platí postupně y − 1 = sin (2x − 7) ⇔
2x − 7 = arcsin (y − 1) ⇔ x = 1

2 (7 + arcsin (y − 1)) a tedy (viz obr. 2.18)

g−1 : y = 1

2 (7 + arcsin (x − 1)) , přičemž g

−1 : h0, 2i →

7
2 −

π

4 ,

7
2 +

π

4

®

.

———————————————————————————————————

2.8 Elementární funkce

43

Obrázek 2.18:

2.8.3

Exponenciální a logaritmické funkce

exponenciální funkce o základu a logaritmická funkce o základu a
f (x) = ax, a ∈ R, a > 0, a 6= 1

g(x) = loga x, a ∈ R, a > 0, a 6= 1

D(f ) = R, H(f ) = (0, ∞),

D(g) = (0, ∞), H(g) = R,

a > 1 ⇒ f je rostoucí,

a > 1 ⇒ g je rostoucí,

0 < a < 1 ⇒ f je klesající na D(f ). 0 < a < 1 ⇒ g je klesající na D(g).
Pro všechna x1, x2 ∈ R platí :