M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

Pro všechna x1, x2 ∈ (0, ∞) platí :

ax1+x2 = ax1 · ax2,

loga (x1 · x2) = loga x1 + loga x2,

ax1−x2 = ax1/ax2,

loga x1/x2 = loga x1 − loga x2,

(ax1)

x2 = ax1·x2.

loga xk1 = k · loga x1, k ∈ R,

logb x1 = loga x1/ loga b

pro a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a 6= 1 6= b.

Obrázek 2.19:

———————————————————————————————————

44

Reálná funkce jedné reálné proměnné

√√

Komentář 2.8.2:

1. Logaritmickou funkcí o základu a nazýváme inverzní funkci k funkci exponenci-

ální o základu a, tj. platí

y = loga x ⇐⇒ x = a

y.

2. Vlastnosti logaritmické funkce plynou z vlastností exponenciální funkce.

3. Logaritmus o základu e

.

= 2.71 . . . se nazývá přirozený logaritmus a značí se ln x,

logaritmus o základu 10 se nazývá dekadický logaritmus a značí se log x.

Obrázek 2.20: Funkce ex, ln x

2.8.4

Mocninná funkce

mocninná funkce o exponentu a : h(x) = xa, a ∈ R, a 6= 0.
D(h) = (0, ∞), H(h) = (0, ∞),
a > 0 ⇒ h je rostoucí na D(h), a < 0 ⇒ h je klesající na D(h).
Pro všechna x1, x2 ∈ (0, ∞) platí : (x1 · x2)a = x1a · x2a, (x1/x2)a = x1a/x2a.

Definiční obor mocninné funkce lze rozšířit, omezíme-li hodnoty exponentu a.

Například:

• pokud a ∈ N, pak D(h) = R,

• jestli

(ι) a ∈ Z, a < 0, pak D(h) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞),

———————————————————————————————————

2.8 Elementární funkce

45

Obrázek 2.21: Funkce xa

(ιι) a ∈ Q, a = m/n, m, n nesoudělná, m ∈ Z, n ∈ N; n liché, pak pro

∗ m > 0 je D(f ) = R,
∗ m < 0 je D(h) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).