M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

2x4 − 3x3 + x2 − x + 1

=

P4(x)

Q4(x)

na součet polynomu a parciálních zlomků.

Řešení: Zadaná racionální funkce není ryzí a proto nejprve polynomy podě-

líme. Dostaneme

f (x) = 1 +

3x3 − 5x2 + 6x

2x4 − 3x3 + x2 − x + 1

.

Nyní nalezneme rozklad polynomu Q4, který je ve jmenovateli. Nejprve pomocí
Hornerova schématu otestujeme, zda některé z čísel 1, −1 (dělitelé absolutního
členu) je kořenem polynomu Q4.

2 -3 1 -1 1

x = −1 2 -5 6 -7 8 x = −1 není kořen
x = 1

2 -1 0 -1 0 x = 1 je kořen

x = 1

2 1

1 0

Celkem tedy platí Q4(x) = (x − 1)2(2x2 + x + 1). Tomuto rozkladu odpovídá

součet parciálních zlomků

3x3 − 5x2 + 6x

2x4 − 3x3 + x2 − x + 1

=

A

x − 1

+

B

(x − 1)2

+

Cx + D

2x2 + x + 1

.

Převedeme-li pravou stranu rovnice na společného jmenovatele, dostaneme násle-
dující rovnost čitatelů

3x3 − 5x2 + 6x = A(x − 1)(2x2 + x + 1) + B(2x2 + x + 1) + (Cx + D)(x − 1)2.

Jde o rovnost polynomů, využijme tedy toho, že koeficienty u stejných mocnin se
musí rovnat a současně porovnáme funkční hodnoty v reálném kořenu 1 polynomu
Q4. Dostaneme

x = 1 :

4 = 4B

=⇒ B = 1

x3 :

3 = 2A + C

x0 :

0 = −A + B + D

x2 : −5 = −A + 2B − 2C + D.

Odtud

2A + C = 3

−A + D = −1

−A − 2C + D = −7.

———————————————————————————————————

2.7 Polynomy a racionální funkce

35

Řešením tohoto systému je A = 0, C = 3, D = −1. Platí tedy rozklad

f (x) = 1 +

1

(x − 1)2

+

3x − 1

2x2 + x + 1

.

O správnosti rozkladu se můžeme přesvědčit sečtením pravé strany.

Poznámka. Uvedený rozklad racionální funkce nám později umožní
její jednoduché zintegrování.