M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

Rj –zbytek. Je-li polynom Rj nulový, pak říkáme, že polynom Pn je dělitelný
polynomem Qm.

Příklad 2.7.1: Jsou dány polynomy P3(x) = 4x3 + 8x2 + x − 1,
Q2(x) = 2x2 + 1. Vypočtěte

P3(x)

Q2(x)

.

Řešení:

(4x3 + 8x2 + x − 1) : (2x2 + 1) = 2x + 4
−4x3

− 2x

8x2 − x − 1

−8x2

− 4

−x − 5

Odtud

4x3 + 8x2 + x − 1

2x2 + 1

= 2x + 4 −

x + 5

2x2 + 1

.

O správnosti výsledku se lehce přesvědčíme převedením pravé strany rovnice na
společného jmenovatele.

Rovnost polynomů: Je-li

Pn(x) = anxn + . . . + a1x + a0,

Qm(x) = bmxm + . . . + b1x + b0,

pak Pn = Qm, jestliže n = m a bi = ai pro i = 0, 1, . . . , n (tj. koeficienty u stejných
mocnin jsou si rovny).

———————————————————————————————————

30

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Kořenové vlastnosti reálných polynomů: Ze střední školy již znáte vzorec

x1,2 =

−b ±

√

D

2a

=

−b ±

√

b2 − 4ac

2a

pro výpočet kořenů kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Víte, že může nastat několik variant řešení:

1) Je-li diskriminant D > 0, pak má rovnice dva různé reálné kořeny x1, x2

(tzv. jednonásobné) a platí ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

2) Je-li D = 0, pak má rovnice dva stejné reálné kořeny x1 = x2 (tzv. dvoj-

násobný kořen x1) a platí ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) = a(x − x1)2.

3) Je-li D < 0 a připustíme-li, že kořeny mohou být komplexní čísla, pak má

rovnice dvojici (jednonásobných) komplexně sdružených kořenů

x1 =

−b + i

√

4ac − b2

2a

=

−b + i

√

−D

2a

, x2 =

−b − i