M04 - Reálná funkce jedné reálné proměnné

x = |OA| = |OB| − |AB| = |OB| − |P C| = at − a sin t,

y = |AP | = |BS| − |CS| = a − a cos t.

Příklad 2.5.1: Zjistěte, zda rovnicemi

x = 2t − 1, y = 4t + 3, t ∈ h−1, 1i,

je určena parametricky funkce.

Řešení: Pro t ∈ h−1, 1i nabývá proměnná x hodnot z intervalu h−3, 1i a pro-

měnná y hodnot z h−1, 7i. Vyjádřením parametru t z 1. rovnice a dosazením do
2. rovnice získáme explicitní vyjádření proměnné y jako funkce proměnné x, tj.
f : y = 2x+5, x ∈ h−3, 1i. Grafem funkce f je úsečka spojující bod A = [−3, −1],
který odpovídá parametru t = −1 s bodem B = [1, 7], odpovídajícímu parametru
t = 1.

———————————————————————————————————

24

Reálná funkce jedné reálné proměnné

Obrázek 2.7:

Poznámka: Pokud nebudeme znát graf, vzniká otázka: za jakých před-
pokladů je dvojicí funkcí x = g(t), y = h(t), t ∈ M určená parametricky
funkce? Takovou podmínku si uvedeme při výkladu inverzní funkce.

Na závěr si ukážeme využití parametrického zadání funkce ve fyzice. Uvažujme

vodorovný vrh hmotného bodu. Jde o pohyb složený z přímočarého pohybu ve
směru osy x (vodorovného) a z volného pádu. Poloha hmotného bodu, určená
souřadnicemi x a y, je v každém čase t taková, jako kdyby hmotný bod konal oba
pohyby nezávisle na sobě. Je-li hmotný bod v čase t = 0 v počátku souřadnic,
platí pro dráhu rovnoměrného přímočarého pohybu s rychlostí c, vztah x = ct;
pro volný pád platí y = 1

2 gt

2. Dvojice těchto funkcí určuje dráhu (trajektorii)

hmotného bodu, přičemž parametrem je čas.

2.6

Inverzní funkce

V matematice, fyzice i v technických předmětech je zcela běžné, že ze známých
funkčních závislostí, potřebujeme často vyjadřovat funkční závislosti nové na zá-
kladě toho, které veličiny v daném případě známe a které neznáme.